מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 30- פתרון בגרות 2021 קיץ א
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת ההסתברות מבגרות 2021 מועד א: מציאת מספר הכדורים מכל צבע, הוצאה עם החזרה ובלי החזרה (עץ), והסתברות מותנת 👇
2021 מועד א: בקופסה יש 20 כדורים בשלושה צבעים בלבד: אדום, לבן ושחור. נתון: 40% מן הכדורים שבקופסה הם אדומים. מספר הכדורים השחורים בקופסה גדול פי 3 ממספר הכדורים הלבנים בקופסה.
🟡 סעיף א: ההסתברות להוציא כדור לבן – מציאת מספר הכדורים מכל צבע
א. מהי ההסתברות להוציא מן הקופסה באקראי כדור לבן?
40% מ־20 הכדורים אדומים:
0.4 · 20 = 8 אדומים
השחורים גדולים פי 3 מהלבנים:
לבנים – x
שחורים – 3x
סך הכל 20 כדורים:
8 + x + 3x = 20
4x = 12 / :4
x = 3
בקופסה: 8 אדומים, 3 לבנים, 3 · 3 = 9 שחורים.
P(לבן) = 320 = 0.15
תשובה: 320 = 0.15
🔵 סעיף ב: שני כדורים עם החזרה – ההסתברות שהם באותו צבע
ב. הוציאו באקראי כדור מן הקופסה, החזירו אותו, והוציאו שוב באקראי כדור מן הקופסה. מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע?
באותו צבע = שניהם אדומים או שניהם לבנים או שניהם שחורים.
בונים עץ. עם החזרה ← בכל הוצאה יש שוב 20 כדורים (8 אדומים, 9 שחורים, 3 לבנים). מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
א אדום ש שחור ל לבן
באותו צבע ← שלושת הענפים האדומים:
אדום ← אדום: 820 · 820 = 64400
לבן ← לבן: 320 · 320 = 9400
שחור ← שחור: 920 · 920 = 81400
"או" ← פלוס:
64400 + 9400 + 81400
= 154400 = 77200 = 0.385
תשובה: 77200 = 0.385
🟢 סעיף ג1: שני כדורים בלי החזרה – ההסתברות שהם באותו צבע (עץ)
ג. מתוך הקופסה שבה 20 כדורים הוציאו בזה אחר זה שני כדורים ללא החזרה.
(1) מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע?
(1) מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע?
בונים עץ. בלי החזרה ← בהוצאה השנייה נשארו 19 כדורים, ומהצבע שיצא – אחד פחות. מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
א אדום ש שחור ל לבן
באותו צבע ← שלושת הענפים האדומים:
אדום ← אדום: 820 · 719 = 56380
לבן ← לבן: 320 · 219 = 6380
שחור ← שחור: 920 · 819 = 72380
820 · 719 + 320 · 219
+ 920 · 819
= 56380 + 6380 + 72380
= 134380 = 67190 ≈ 0.3526
תשובה: 67190 ≈ 0.3526
🩷 סעיף ג2: הסתברות מותנת – הכדור הראשון לבן בידיעה שהכדורים בצבעים שונים
(2) אם ידוע ששני הכדורים שהוציאו הם בצבעים שונים, מהי ההסתברות שהכדור הראשון שהוציאו הוא לבן?
"ידוע" ← הסתברות מותנת. במכנה: צבעים שונים.
משלים: צבעים שונים = 1 פחות באותו צבע. בלי החזרה ← לוקחים את "באותו צבע" מ־ג1:
1 − 67190 = 123190 ≈ 0.6474
במונה: הראשון לבן והשני בצבע אחר – שני הענפים האדומים (העלים בעיגול):
א אדום ש שחור ל לבן
לבן ← אדום: 320 · 819 = 24380
לבן ← שחור: 320 · 919 = 27380
24380 + 273800.6474
= 51380123190 = 1782 ≈ 0.2073
תשובה: 1782 ≈ 0.2073
💡 לזכור
עם החזרה – בכל הוצאה אותו מספר כדורים. בלי החזרה – בהוצאה השנייה יש כדור אחד פחות בסך הכל וכדור אחד פחות מהצבע שיצא. משלים: "צבעים שונים" = 1 פחות "אותו צבע" באותו סוג הוצאה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
