מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 21 דיאגרמת עץ ונעלמים עם הסתברות מותנת
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלה עם דיאגרמת עץ ונעלם (בחירה בלי החזרה), ואחר כך הסתברות מותנת מתוך העץ 👇
בחדר נמצאים x גברים ו־2x נשים, המשחקים את המשחק שלהלן: בוחרים באקראי שני אנשים מהחדר בזה אחר זה (בלי החזרה). ידוע שההסתברות לבחור במשחק זה שני אנשים שאחד מהם גבר והאחר אישה, היא 12.
🟡 סעיף א: מציאת הנעלם x בעזרת דיאגרמת עץ (בלי החזרה)
א. חשב את x.
סה״כ אנשים: x + 2x = 3x
בונים עץ. בחירה ראשונה: גבר x3x = 13 , אשה 2x3x = 23
בחירה שנייה – בלי החזרה ← נשאר אדם אחד פחות, 3x − 1 , ומהמין שנבחר – אחד פחות. מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
אדום – אחד גבר ואחד אשה (גבר ← אשה או אשה ← גבר)
אחד גבר ואחד אישה ← שני הענפים האדומים: גבר־אשה או אשה־גבר. "או" ← חיבור:
13 · 2x(3x − 1) + 23 · x(3x − 1)
= 12
מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה:
2x9x − 3 + 2x9x − 3 = 12
אותו מכנה ← מחברים את המונים:
4x9x − 3 = 12
כפל בהצלבה:
8x = 9x − 3 / −8x +3
x = 3
תשובה: x = 3
🔵 סעיף ב: הסתברות מותנת מתוך העץ – ידוע שהאדם השני אישה
עבור ה־x שחישבת בסעיף א ענה על הסעיף הבא.
ב. ידוע שהאדם השני שנבחר היה אישה. מהי ההסתברות שהאדם הראשון שנבחר היה אישה?
ב. ידוע שהאדם השני שנבחר היה אישה. מהי ההסתברות שהאדם הראשון שנבחר היה אישה?
מציבים x = 3 בעץ (סה״כ 9 אנשים: 3 גברים ו־6 נשים, אחרי בחירה אחת נשארים 8). מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
ירוק – השני אשה (המכנה) · עיגול אדום – גם הראשון אשה (המונה)
"ידוע" ← הסתברות מותנת. מכנה: השני אשה – שני הענפים הירוקים: אשה־אשה או גבר־אשה
1024 + 624 = 1624
מונה: מתוכם, גם הראשון אשה ← אשה־אשה: 1024
10241624 = 1016 = 58
תשובה: 58
💡 לזכור
בלי החזרה ← בבחירה השנייה הסה״כ קטן ב־1. בעץ: לאורך ענף ← כפל, בין ענפים ← חיבור. בהסתברות מותנת, חלק מהמכנה עולה למונה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il