שיעור 23 מאורעות תלויים ובלתי תלויים

הסתברות · 4 יחידות · שאלון 471

📄 דף הסבר: מאורעות תלויים ובלתי תלויים

בודקים בנוסחה אחת: כפל מול חיתוך

מה זה מאורעות תלויים?

שואלים האם מאורע אחד קשור למאורע השני. למשל: האם לגברים יש יותר סיכוי להוציא רישיון מאשר לנשים? אם אין קשר ← המאורעות בלתי תלויים. בבגרות זה מגיע בדרך כלל עם טבלה דו ממדית.

הנוסחה

P(A) · P(B) = P(A∩B)

שווה ← בלתי תלויים (בת״ל)
שונה ≠ ← תלויים

השיטה4 צעדים לבדיקת תלות

1הופכים לשבר עשרוני

אם הטבלה במספרים, מחלקים כל תא בסך הכל (100 ← 1).

2מוצאים את 3 התאים

P(A) ו־P(B) מהשורה/עמודה של הסה״כ, ו־P(A∩B) מהתא שבו הם נפגשים.

3מציבים בנוסחה

רושמים את הנוסחה, מציבים ומחשבים: P(A) · P(B) מול P(A∩B).

4מסיקים

שווה ← בלתי תלויים. שונה ← תלויים. הנוסחה כללית: אפשר לבדוק כל זוג, גם A̅ ו־B̅.

כפל = חיתוך ← בלתי תלויים · כפל ≠ חיתוך ← תלויים ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון בדקנו בעזרת טבלה דו ממדית האם שני מאורעות תלויים או בלתי תלויים: מציבים בנוסחה ובודקים אם הכפל שווה לחיתוך 👇

🟡 דוגמה 1: האם "גברים" ו"יש רישיון" תלויים – מאורעות בלתי תלויים

האם המאורע "גברים" והמאורע "יש רישיון" תלויים או בלתי תלויים?

	A גברים	A̅ נשים	סה״כ
B יש רישיון	30	20	50
B̅ אין רישיון	30	20	50
סה״כ	60	40	100

קודם בהיגיון: גברים עם רישיון 3060 = 12 , נשים עם רישיון 2040 = 12. לחצי מהגברים ולחצי מהנשים יש רישיון ← אין קשר.

עכשיו כמו בבגרות. הופכים את הטבלה לשבר עשרוני (מחלקים ב־100):

	A גברים	A̅ נשים	סה״כ
B יש רישיון	0.3	0.2	0.5
B̅ אין רישיון	0.3	0.2	0.5
סה״כ	0.6	0.4	1

בת״ל:

P(A) · P(B) = P(A∩B)

P(A) = 0.6 , P(B) = 0.5

P(A∩B) = 0.3

0.6 · 0.5 = 0.3 ✓

תשובה: המאורעות בלתי תלויים

🔵 דוגמה 2: משנים את הטבלה – מאורעות תלויים

משנים את הטבלה: במקום 30 גברים עם רישיון יש 40 (ואין רישיון: 20). האם המאורע "גברים" והמאורע "יש רישיון" תלויים?

	A גברים	A̅ נשים	סה״כ
B יש רישיון	40 0.4	20 0.2	60 0.6
B̅ אין רישיון	20 0.2	20 0.2	40 0.4
סה״כ	60 0.6	40 0.4	100 1

תלוי:

P(A) · P(B) ≠ P(A∩B)

P(A) = 0.6 , P(B) = 0.6

P(A∩B) = 0.4

0.6 · 0.6 = 0.36 ≠ 0.4

תשובה: המאורעות תלויים

🟢 דוגמה 3: האם "נשים" ו"אין רישיון" תלויים – הנוסחה לכל זוג מאורעות

בטבלה החדשה: האם המאורע "נשים" והמאורע "אין רישיון" תלויים?

הנוסחה כללית, לא דווקא A ו־B. כאן בודקים את A̅ (נשים) ו־B̅ (אין רישיון):

P(A̅) · P(B̅) = P(A̅∩B̅) ?

P(A̅) = 0.4 , P(B̅) = 0.4

P(A̅∩B̅) = 0.2

0.4 · 0.4 = 0.16 ≠ 0.2