שיעור 38- קשר בין הפונקציה לנגזרת 3

נושא השיעור-נלמד בשיעור על הקשר בין הפונקציה לנגזרת

הקשר הגרפי

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה מאפשר לנו "לקרוא" את התנהגות הפונקציה על סמך גרף הנגזרת.

• נגזרת חיובית: כאשר הנגזרת חיובית, הפונקציה המקורית עולה.

• נגזרת שלילית: כאשר הנגזרת שלילית, הפונקציה המקורית יורדת.

• נגזרת מתאפסת: כאשר הנגזרת מתאפסת, הפונקציה המקורית מגיעה לנקודת קיצון (מקסימום או מינימום).

• נגזרת משנה סימן: כאשר הנגזרת משנה סימן מחיובי לשלילי או להיפך, הפונקציה המקורית עוברת מנקודת קיצון.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו שאלה עם שלושה סעיפים: מגרף הנגזרת מצאנו את נקודת הקיצון, את תחומי העלייה והירידה, ושרטטנו את הפונקציה 👇

🟣 תזכורת: הכללים

1. נקודות הקיצון של f(x) הן נקודות האפס של f'(x) (חיתוך עם ציר ה־x)

2. תחומי הירידה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת שלילית (f'(x) < 0) ← גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x

3. תחומי העלייה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת חיובית (f'(x) > 0) ← גרף הנגזרת מעל ציר ה־x

🟡 התרגיל מהסרטון

בשרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f'(x) . גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x בנקודה x = 3 .

סעיף א: מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן על פי הגרף.

נקודת האפס של הנגזרת: x = 3

לפני 3 גרף הנגזרת מעל ציר ה־x ← f'(x) > 0 ← f עולה ↗

אחרי 3 גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x ← f'(x) < 0 ← f יורדת ↘

עולה ואז יורדת ← מקסימום

תשובה: x = 3 נקודת מקסימום

סעיף ב: מצא את תחומי העלייה והירידה של f(x)

עלייה: איפה שהנגזרת חיובית (מעל ציר ה־x)

ירידה: איפה שהנגזרת שלילית (מתחת לציר ה־x)

תשובה: עלייה x < 3 , ירידה x > 3

סעיף ג: ערך ה־y של נקודת הקיצון שווה 5. שרטט את הפונקציה.

נקודת הקיצון: (3 , 5) והיא מקסימום.

שרטוט: הגרף עולה עד הנקודה (3 , 5) , ומשם יורד. כמו "הר" שהפסגה שלו ב־(3 , 5)

תשובה: נקודת מקסימום (3 , 5)

💡 לזכור

בגרף נגזרת שיורד וחוצה את ציר ה־x מלמעלה למטה, הפונקציה עולה ואז יורדת. כלומר בנקודת החיתוך יש מקסימום.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il