מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 15- תרגול 2 ברמת 4 יחידות
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלת בגרות (דוגמה של משרד החינוך) על שתי קבוצות עם אותו ממוצע: מציאת נעלמים מהממוצע ומסטיית התקן, שכיח וחציון, והשפעה של תלמידים שהצטרפו.
השאלה: תלמידים נבחנו במבחן בו התקבלו הציונים 6, 8 ו־9 בלבד. התלמידים חולקו לשתי קבוצות בעלות אותו מספר תלמידים: קבוצה א׳ וקבוצה ב׳. ממוצע הציונים בכל קבוצה 8. בקבוצה א׳ 12 תלמידים קיבלו ציון 9 וסטיית התקן הייתה 1.2.
קבוצה א׳ (x – מספר התלמידים שקיבלו 8, y – שקיבלו 6):
| ציון | 9 | 8 | 6 |
|---|---|---|---|
| מס׳ תלמידים | 12 | x | y |
🟡 סעיף א(1): כמה תלמידים קיבלו 6 – משוואה מהממוצע
בקבוצה א׳: כמה תלמידים קיבלו את הציון 6?
סה״כ התלמידים: 12 + x + y
x̄ = 12·9 + 8x + 6y12 + x + y = 8
כפל בהצלבה: 108 + 8x + 6y = 96 + 8x + 8y
108 − 96 = 8y − 6y
12 = 2y
תשובה: y = 6
🔵 סעיף א(2): כמה תלמידים בקבוצה – משוואה מנוסחת סטיית התקן
כמה תלמידים היו בקבוצה?
סה״כ: 12 + x + 6 = 18 + x. הממוצע לא עוזר כאן (מתקבל 0 = 0), לכן משתמשים בסטיית התקן.
S = √(x1−x̄)²·f1 + (x2−x̄)²·f2
+ …. + (xn−x̄)²·fnN
+ …. + (xn−x̄)²·fnN
1.2 = √(9−8)²·12 + (8−8)²·x
+ (6−8)²·618 + x
+ (6−8)²·618 + x
מעלים בריבוע: 1.441 = 12 + 2418 + x
25.92 + 1.44x = 36
x = 7 ← 18 + 7 = 25
תשובה: 25 תלמידים
🟢 סעיף א(3): השכיח והחציון של הציונים בקבוצה א׳
מצא את השכיח והחציון של הציונים.
שכיח: 12 תלמידים קיבלו 9 – הכי הרבה ← שכיח = 9
הציונים בסדר: 6 פעמים 6, אחר כך 7 פעמים 8, אחר כך 12 פעמים 9.
n = 25 אי־זוגי: 25 + 12 = 13 ← המקום ה־13.
6 + 7 = 13 ← במקום ה־13 הציון 8.
תשובה: שכיח = 9 , חציון = 8
🩷 סעיף ב: סטיית התקן בקבוצה ב׳ – גדולה, שווה או קטנה מ־1.2?
בקבוצה ב׳ מספר התלמידים שקיבלו ציון 8 היה גדול ממספר התלמידים שקיבלו ציון זה בקבוצה א׳. האם סטיית התקן בקבוצה ב׳ גדולה, שווה או קטנה מסטיית התקן של קבוצה א׳? נמק.
סטיית תקן = הסטייה של הציונים מהממוצע: ככל שהציונים רחוקים יותר מהממוצע, היא גדולה יותר.
בקבוצה ב׳ יש יותר תלמידים שקיבלו 8 – בדיוק כמו הממוצע – ולכן הפיזור מהממוצע קטן יותר.
תשובה: קטנה, כי יותר תלמידים קיבלו ציון השווה לממוצע
🟣 סעיף ג: איך משתנה הממוצע כשמצטרפים תלמידים עם הציונים 5, 6, 7?
לקבוצה ב׳ הצטרפו מספר תלמידים שנבחנו במועד ב׳, וציוניהם 5, 6 ו־7. האם הממוצע של הקבוצה גדל, קטן או נשאר ללא שינוי? נמק.
הממוצע של המצטרפים: 5 + 6 + 73 = 6
6 קטן מהממוצע של הקבוצה (8), לכן הם מקטינים את הממוצע.
תשובה: הממוצע קטן
🟡 סעיף ד: תלמיד הצטרף והחציון לא השתנה – מה קורה לממוצע ולשכיח?
לקבוצה א׳ הצטרף תלמיד שנבחן במועד ב׳. מתברר שאחרי הצטרפותו חציון הקבוצה לא השתנה. האם הצטרפותו משנה את הממוצע ואת השכיח של הקבוצה? נמק.
עכשיו n = 26 זוגי: 262 = 13 , 262 + 1 = 14 ← החציון הוא הממוצע של המקומות 13 ו־14, וכדי שיישאר 8 שניהם צריכים להיות 8.
אם התלמיד קיבל 9: במקום ה־13 יש 8 ובמקום ה־14 יש 9 ← החציון 8.5, השתנה. לכן ציונו 8 או פחות.
ציון 8: המקומות 13 ו־14 הם 8 ← הממוצע לא משתנה (הציון שנוסף שווה לממוצע).
ציון נמוך מ־8 (למשל 6): גם אז המקומות 13 ו־14 הם 8 והחציון נשאר 8, אבל הממוצע קטן.
השכיח: 9 עדיין מופיע 12 פעמים, יותר מכל ציון אחר ← לא משתנה.
תשובה: השכיח לא משתנה (9). הממוצע: לא משתנה אם התלמיד קיבל 8, וקטן אם קיבל פחות מ־8
💡 לזכור
נעלם בטבלה ← משוואה מהממוצע; נעלם שני ← משוואה מסטיית התקן (מעלים בריבוע). יותר ציונים קרובים לממוצע = סטיית תקן קטנה יותר. ציון שנוסף ושווה לממוצע לא משנה את הממוצע.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il