מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 13-קיצון +משיק
קיצון +משיק
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלה מבחינת בגרות (2019) שמשלבת נקודות קיצון ומשיק. כאן היא כתובה סעיף אחרי סעיף 👇
📝 השאלה
שאלה: לפניך סרטוט של גרף הפונקציה f(x) = 2x³ + 2x² − 2x.הנקודות A ו־B שבציור הן נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (A משמאל, B מימין ולמטה).
א. מצא את שיעורי הנקודות A ו־B.
דרך הנקודה A העבירו משיק לגרף הפונקציה.
ב. מצא את משוואת המשיק.
🟡 סעיף א: שיעורי נקודות הקיצון
סעיף א: מצא את שיעורי הנקודות A ו־B.
גוזרים ומשווים ל־0:
f'(x) = 6x² + 4x − 2 = 0
מחלקים ב־2:
3x² + 2x − 1 = 0
נוסחת השורשים:
a = 3 , b = 2 , c = −1
x₁,₂ = −2 ± √(4 − 4·3·(−1))6
= −2 ± √166 = −2 ± 46
x₁ = 26 = 13
x₂ = −66 = −1
מציבים בפונקציה המקורית:
f(13) = 2·(13)³ + 2·(13)²
− 2·13 = 227 + 29 − 23
= 227 + 627 − 1827 = −1027
f(−1) = 2·(−1)³ + 2·(−1)²
− 2·(−1)
= −2 + 2 + 2 = 2
קובעים את הסוג: מציבים בנגזרת מספר בכל תחום:
f'(−2) = 6·4 − 8 − 2
= 14 > 0
f'(0) = −2 < 0
f'(1) = 6 + 4 − 2 = 8 > 0
| x | −2 | −1 | 0 | 13 | 1 |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
וזה מתאים לציור: A משמאל היא נקודת המקסימום, ו־B היא נקודת המינימום.
תשובה: A(−1 , 2) מקסימום
B(13 , −1027) מינימום
B(13 , −1027) מינימום
🔵 סעיף ב: משוואת המשיק דרך A
סעיף ב: דרך הנקודה A העבירו משיק לגרף הפונקציה. מצא את משוואת המשיק.
A היא נקודת קיצון, ולכן הנגזרת בה שווה 0. השיפוע של המשיק:
m = f'(−1) = 0
משוואת ישר: y − y₁ = m(x − x₁)
y − 2 = 0·(x − (−1))
y − 2 = 0
המשיק בנקודת קיצון הוא ישר מאוזן (מקביל לציר x).
תשובה: y = 2
💡 לזכור
בכל נקודת קיצון השיפוע של המשיק הוא m = 0, ולכן המשיק הוא ישר מאוזן: y = שיעור ה־y של הנקודה. אין צורך לחשב נגזרת מחדש!
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il