מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 11 – נוסחאות הכפל המקוצר
טכניקה אלגברית · פירוק לגורמים · שיעור 11
📄 דף הסבר: נוסחאות הכפל המקוצר
הפרש ריבועים וריבוע של סכום או הפרש
🎬 סרטון הסבר
מהירות:
שלוש הנוסחאות
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
איך מזהים?
שני איברים עם מינוס ביניהם, ושניהם ריבועים, כמו x2 − 49 ← הפרש ריבועים.
שלושה איברים, שניים מהם ריבועים, והאמצעי הוא 2ab ← ריבוע של סכום או הפרש.
שלביםפירוק בכפל מקוצר
1מזהים
בודקים כמה איברים יש ואיזה סימן יש ביניהם.
2מוצאים a ו־b
כותבים כל ריבוע בצורה (…)2 ומזהים את a ואת b.
3בודקים 2ab
בשלושה איברים: מוודאים שהאיבר האמצעי שווה 2ab.
4כותבים ובודקים
מציבים בנוסחה ובודקים בפתיחת סוגריים.
מזהים · מוצאים a ו־b · בודקים 2ab · מציבים בנוסחה ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פרקו בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר. ליד כל שלב כתובה הנוסחה שמשתמשים בה.
🔵 תרגיל 1: x2 − 49
פרקו: x2 − 49
שני איברים עם מינוס ביניהם, ושניהם ריבועים:
x2 = (x)2 49 = 72
כלומר a = x ו־b = 7. מציבים בנוסחה:
x2 − 72 = (x − 7)(x + 7)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
בדיקה: (x − 7)(x + 7) = x2 + 7x − 7x − 49 = x2 − 49 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x − 7)(x + 7)
🟣 תרגיל 2: x2 + 10x + 25
פרקו: x2 + 10x + 25
שלושה איברים. הראשון והאחרון ריבועים:
x2 = (x)2 25 = 52
כלומר a = x ו־b = 5. בודקים את האיבר האמצעי:
2ab = 2 · x · 5 = 10x ✓
האיבר האמצעי בפלוס, ולכן זה ריבוע של סכום:
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2📐 ריבוע של סכוםa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
בדיקה: (x + 5)2 = x2 + 2 · x · 5 + 52 = x2 + 10x + 25 ✓📐 ריבוע של סכוםa2 + 2ab + b2 = (a + b)2
✅ פתרון סופי: (x + 5)2
🟢 תרגיל 3: 9x2 − 12x + 4
פרקו: 9x2 − 12x + 4
שלושה איברים. הראשון והאחרון ריבועים:
9x2 = (3x)2 4 = 22📐 חזקה של מכפלה(ab)2 = a2b2
כלומר a = 3x ו־b = 2. בודקים את האיבר האמצעי:
2ab = 2 · 3x · 2 = 12x ✓
האיבר האמצעי במינוס, ולכן זה ריבוע של הפרש:
9x2 − 12x + 4 = (3x − 2)2📐 ריבוע של הפרשa2 − 2ab + b2 = (a − b)2
בדיקה: (3x − 2)2 = (3x)2 − 2 · 3x · 2 + 22 = 9x2 − 12x + 4 ✓📐 ריבוע של הפרשa2 − 2ab + b2 = (a − b)2
✅ פתרון סופי: (3x − 2)2
💡 לזכור
הפרש ריבועים עובד רק עם מינוס: x2 + 49 לא מתפרק. בשלושה איברים תמיד בודקים שהאמצעי הוא בדיוק 2ab.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il