מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 79- תרגיל 3 אנליטית בשילוב טריגונומטריה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
תרגיל 3 בפרק אנליטית בשילוב טריגונומטריה (על בסיס בגרות קיץ 2021): מרובע ABCD שאלכסוניו מאונכים. מוצאים קודקודים על הצירים, משוואת אלכסון בעזרת אמצע קטע ושיפוע מאונך, ובסוף זווית בעזרת נוסחת שטח משולש עם סינוס.
📌 נתון: בציור שלפניך מתואר המרובע ABCD. אלכסוני המרובע נפגשים בנקודה E. הקודקוד A נמצא על ציר y. הקודקודים B ו־C נמצאים על ציר x. משוואת האלכסון AC היא y = −12x + 4.
🔵 סעיף א: מציאת שיעורי הקודקודים A ו־C – חיתוך האלכסון עם הצירים
מצא את שיעורי הקודקודים A ו־C.
הקודקוד A – על ציר y, מציבים x = 0 במשוואת AC:
y = −12 · 0 + 4 = 4
A(0 , 4)
הקודקוד C – על ציר x, מציבים y = 0:
0 = −12x + 4
12x = 4
x = 8
C(8 , 0)
תשובה: A(0 , 4) , C(8 , 0)
🟣 סעיף ב1: מציאת משוואת האלכסון BD בעזרת אמצע קטע ושיפוע מאונך
נתון: אלכסוני המרובע ABCD מאונכים זה לזה. הנקודה E היא אמצע האלכסון AC. מצא את משוואת האלכסון BD.
כדי למצוא משוואה צריך נקודה ושיפוע.
1. הנקודה E – אמצע AC, נוסחת אמצע קטע:
xE = x1 + x22 = 0 + 82 = 4
yE = y1 + y22 = 4 + 02 = 2
E(4 , 2)
2. השיפוע – שיפוע AC:
m = y2 − y1x2 − x1
mAC = 0 − 48 − 0 = −48 = −12
AC ⊥ BD , ולכן השיפוע של BD הופכי ונגדי:
mBD = 2
3. משוואת הישר עם E(4 , 2):
y − y1 = m(x − x1)
y − 2 = 2(x − 4)
y − 2 = 2x − 8
y = 2x − 6
תשובה: y = 2x − 6
🟢 סעיף ב2: מציאת שיעורי הקודקוד B – חיתוך BD עם ציר x
מצא את שיעורי הקודקוד B.
B נמצא על ציר x, ולכן y = 0. מציבים במשוואת BD:
0 = 2x − 6
6 = 2x
x = 3
תשובה: B(3 , 0)
🔷 סעיף ג: מציאת הזווית DCB בעזרת נוסחת שטח משולש עם סינוס
נתון: שטח המשולש BDC הוא 20, DC = √65. מצא את ∢DCB.
BC = 8 − 3 = 5 (B ו־C על ציר x).
מסמנים ∢DCB = α. נוסחת שטח משולש:
S = 12 · a · b · sinα
SΔDBC = 12 · BC · DC · sinα
20 = 12 · 5 · √65 · sinα
12 · 5 = 212
מחלקים ב־212√65:
20212√65 = sinα
במחשבון:
sin−1(20212√65) = 82.87
תשובה: ∢DCB = 82.87°
💡 לזכור
נקודה על ציר y – מציבים x = 0; נקודה על ציר x – מציבים y = 0. כשנתון שטח משולש ושתי צלעות, מוצאים את הזווית שביניהן מנוסחת השטח עם סינוס.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il