שיעור 11-נגזרת שורש- 2-נגזרת שורש עם מכפלה

לעמוד הקורס⇐

בשיעור נלמד איך גוזרים שורש עם מכפלה

חקירת פונקציית שורש · 4 יחידות · שאלון 471

📄 דף הסבר: נגזרת שורש של ביטוי ונגזרת של מכפלה

שתי נוסחאות, וכל תרגיל בשיעור נפתר בעזרתן

שורש של ביטוי

(√f(x))′ = f′(x)2√f(x)

נגזרת מה שבפנים, חלקי 2 כפול אותו שורש

נגזרת של מכפלה

(f · g)′ = f′ · g + g′ · f

גוזרים אחד, משאירים את השני, ולהפך

מתי משתמשים במה?

כשבתוך השורש יש ביטוי (למשל √2x + 1) גוזרים לפי הנוסחה של √f(x): במונה הנגזרת של מה שבתוך השורש. מספר שלפני השורש נשאר בנגזרת. כששני ביטויים עם x כפולים זה בזה (למשל x · √x) משתמשים בנוסחת המכפלה.

השיטה4 צעדים לנגזרת של מכפלה עם שורש

1מסמנים את f ואת g

כותבים f מעל הביטוי הראשון, ואת g מעל השני.

2גוזרים כל אחד

מוצאים את f′ ואת g′. נגזרת של שורש: לפי f′(x)2√f(x).

3מציבים בנוסחה

f′ · g + g′ · f: הנגזרת של הראשון כפול השני, ועוד הנגזרת של השני כפול הראשון.

4מסדרים

מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה, ומצמצמים מה שאפשר.

מסמנים f , g ← גוזרים ← f′ · g + g′ · f ← מסדרים ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון גזרנו שורש של ביטוי לפי (√f(x))′ = f′(x)2√f(x) , ומכפלה עם שורש לפי (f · g)′ = f′ · g + g′ · f 👇

🟡 תרגיל 1: נגזרת של 2√2x + 1

גזרו: (2√2x + 1)′

ה־2 שלפני השורש הוא מספר במכפלה, ולכן הוא נשאר. את השורש גוזרים לפי (√f(x))′ = f′(x)2√f(x) , והנגזרת של 2x + 1 היא 2:

(2√2x + 1)′ = 2 · 2 · 12√2x + 1

מצמצמים את ה־2 במונה עם ה־2 במכנה:

= 21 · 1√2x + 1 = 2√2x + 1

תשובה: 2√2x + 1

🔵 תרגיל 2: נגזרת של מכפלה x · √x

גזרו: (x · √x)′

זו מכפלה: f = x , g = √x . הנוסחה:

(f · g)′ = f′ · g + g′ · f

הנגזרת של x היא 1, והנגזרת של √x היא:

12√x

מציבים בנוסחה:

(x · √x)′ =

1 · √x + 12√x · x1

מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:

= √x + x2√x

תשובה: √x + x2√x

🟢 תרגיל 3: נגזרת של מכפלה עם שורש x · √x + 1

גזרו: (x · √x + 1)′

גם כאן מכפלה: f = x , g = √x + 1

הנגזרת של x היא 1. את √x + 1 גוזרים לפי הנוסחה של שורש (הנגזרת של מה שבפנים היא 1):

12√x + 1

מציבים בנוסחה:

(x · √x + 1)′ =

1 · √x + 1 + 12√x + 1 · x1