שיעור 10- נגזרת שורש -1

לעמוד הקורס⇐

בשיעור נלמד איך גוזרים פונקציית שורש

חקירת פונקציית שורש · 4 יחידות · שאלון 471

📄 דף הסבר: נגזרת של פונקציית שורש

נוסחה אחת מדף הנוסחאות, ושני מקרים שנובעים ממנה

מה גוזרים פה?

בשיעור הזה גוזרים פונקציות שיש בהן √x. הנוסחה מופיעה בדף הנוסחאות, וכדאי לזכור אותה בעל פה. מספר שבא במכפלה נשאר בנגזרת, וביטוי שבא בחיבור או בחיסור נגזר כל אחד בנפרד.

הנוסחה

(√x)′ = 12√x

הנגזרת של שורש x

מספר לפני השורש

(a√x)′ = a · 12√x = a2√x

המספר a עולה למונה.

מספר במכנה

√xa = 1a · √x

1a · 12√x = 12a√x

מפרידים את 1a מהשורש, והוא נשאר בנגזרת.

השיטה4 צעדים לגזירת שורש

1מפרידים לביטויים

אם יש חיבור או חיסור, גוזרים כל ביטוי בנפרד.

2מספר נשאר

מספר שבא במכפלה לפני השורש נשאר בנגזרת. אם השורש מחולק במספר, כותבים אותו כ־1a · √x.

3גוזרים את השורש

במקום √x כותבים לפי הנוסחה 12√x.

4מונה כפול מונה

מכפילים מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה, ומקבלים את הנגזרת.

מספר נשאר ← √x הופך ל־12√x ← מונה כפול מונה ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון גזרנו פונקציות שורש לפי הנוסחה מדף הנוסחאות: (√x)′ = 12√x. מספר במכפלה נשאר, ואחר כך מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה 👇

🟡 תרגיל 1: נגזרת של 3√x

גזרו: 3√x

3 הוא מספר שבא במכפלה, ולכן הוא נשאר. את √x גוזרים לפי הנוסחה:

3√x′ = 3 · 12√x

ה־3 עולה למונה:

= 32√x

תשובה: 32√x

🔵 תרגיל 2: נגזרת של 12√x

גזרו: 12√x

החצי הוא מספר במכפלה, ולכן הוא נשאר:

12√x′ = 12 · 12√x

מונה כפול מונה ומכנה כפול מכנה:

1 · 1 = 1 , 2 · 2√x = 4√x

= 14√x

תשובה: 14√x

🟢 תרגיל 3: נגזרת של 2x − √x

גזרו: (2x − √x)′

גוזרים כל ביטוי בנפרד: הנגזרת של 2x היא 2, ושל √x היא 12√x:

(2x − √x)′ = 2 − 12√x

תשובה: 2 − 12√x

🩷 תרגיל 4: נגזרת של 6x² + 5√x

גזרו: (6x² + 5√x)′

הנגזרת של 6x² היא 12x (מורידים את ה־2 לפני ה־6: 2 · 6 = 12, והחזקה יורדת ב־1).

ב־5√x ה־5 עולה למונה:

(6x² + 5√x)′ = 12x + 52√x

אפשר לסדר עוד (לא חובה): 52 = 212

= 12x + 212√x

תשובה: 12x + 52√x או 12x + 212√x

🟣 תרגיל 5: נגזרת של √x3

גזרו: √x3

יותר נוח לכתוב את השורש חלקי 3 כ־שליש כפול שורש x:

√x3′ = 13 · √x′

השליש הוא מספר ונשאר, ואת השורש גוזרים לפי הנוסחה:

= 13 · 12√x