מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 22-הסתברות עץ עם נעלמים
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלה עם דיאגרמת עץ ונעלם P: ממלאים את העץ בביטויים עם P, בונים משוואה ריבועית, ואחר כך הסתברות מותנת 👇
כדי להתקבל ללימודים בפקולטה מסוימת מועמד צריך להיבחן בשני מבחנים. ההסתברות שמועמד יצליח במבחן הראשון היא P (P > 0.5). אם המועמד הצליח במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P + 0.3. אם המועמד נכשל במבחן הראשון, אז ההסתברות שהוא יצליח במבחן השני היא P − 0.1. נתון כי ההסתברות שהמועמד יצליח בדיוק במבחן אחד מבין השניים היא 940.
🟡 סעיף א: מציאת P בעזרת דיאגרמת עץ ומשוואה ריבועית
א. מצאו את P.
בונים עץ. מבחן I: הצליח ← P , נכשל ← 1 − P
מבחן II – בכל צומת סכום הענפים 1, לכן הענף "נכשל" הוא המשלים:
אחרי שהצליח: הצליח ← P + 0.3 , נכשל ← 1 − (P + 0.3) = 0.7 − P
אחרי שנכשל: הצליח ← P − 0.1 , נכשל ← 1 − (P − 0.1) = 1.1 − P
מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
אדום – הצליח בדיוק במבחן אחד
בדיוק במבחן אחד ← שני הענפים האדומים: הצליח־נכשל או נכשל־הצליח:
P(0.7 − P)
+ (1 − P)(P − 0.1)
= 940
פותחים סוגריים:
0.7P − P² + P − 0.1
− P² + 0.1P = 940
מכנסים איברים ומעבירים אגף:
−2P² + 1.8P − 0.1 − 940 = 0
כופלים ב־40:
−80P² + 72P − 13 = 0
פותרים במחשבון (משוואה ריבועית):
P = 0.65 , P = 0.25
נתון P > 0.5 ← P = 0.25 נפסל.
תשובה: P = 0.65
🔵 סעיף ב: הסתברות מותנת – ידוע שהמועמד הצליח לפחות במבחן אחד
כדי להתקבל ללימודים בפקולטה המועמד צריך להצליח בשני המבחנים.
ב. ידוע כי מועמד הצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לפקולטה?
ב. ידוע כי מועמד הצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהוא התקבל לפקולטה?
מציבים P = 0.65 בעץ: P + 0.3 = 0.95 , 0.7 − P = 0.05 , 1 − P = 0.35 , P − 0.1 = 0.55 , 1.1 − P = 0.45
מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
ירוק – הצליח לפחות במבחן אחד (המכנה) · עיגול אדום – התקבל (המונה)
"ידוע" ← הסתברות מותנת, מה שידוע הולך למכנה.
מכנה – הצליח לפחות במבחן אחד. נוח עם המשלים: 1 פחות "נכשל בשניהם":
1 − 0.35 · 0.45
= 1 − 0.1575 = 0.8425
מונה – התקבל = הצליח בשני המבחנים (העלה בעיגול):
0.65 · 0.95 = 0.6175
0.61750.8425 = 247337 ≈ 0.733
תשובה: 247337 ≈ 0.733
💡 לזכור
בעץ, בכל צומת סכום הענפים הוא 1, לכן הענף המשלים הוא 1 פחות הענף הנתון (עם סוגריים!). "לפחות אחד" ← נוח עם המשלים. בסוף בודקים את התנאי שבשאלה ופוסלים פתרון.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il