מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 7 -פתרון בגרות 2014 מועד ב שאלון 3 יחידות- בעיית קיצון עם גרפים
בעיות קיצון · 4 יחידות · שאלון 471
📄 דף הסבר: בעיית קיצון עם נקודה על גרף
נקודה על גרף הפונקציה יוצרת צורה עם הצירים, ומחפשים מתי ההיקף או השטח שלה מינימלי או מקסימלי.
הנקודה על הגרף
ה־x של הנקודה הוא הנעלם x , וה־y שלה מתקבל מהצבה בפונקציה: A(x , f(x)) .
הצלעות של המלבן
כשמורידים אנכים לצירים: xA = xB = x , yA = yC = f(x) . לכן OB = x ו־OC = f(x) .
שלביםפתרון בעיית קיצון
1פונקציית המטרה
מה שצריך להיות מינימלי או מקסימלי (למשל ההיקף p), מבוטא על ידי נעלם אחד x .
2גוזרים, משווים ל־0 ומוצאים את x
במשוואה עם שורש – תמיד עושים בדיקה.
3מוכיחים מינימום או מקסימום
מציבים בנגזרת מספר לפני ומספר אחרי (מתוך תחום ההגדרה). נגזרת שלילית – הפונקציה יורדת ↘ , נגזרת חיובית – עולה ↗ . ירידה ואחריה עלייה – min .
פונקציית מטרה ← p' = 0 ← בדיקת min / max ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2014 מועד ב (3 יחידות) נקודה על גרף הפונקציה f(x) = 10 − √x יוצרת מלבן עם הצירים, ומחפשים את ההיקף המינימלי לפי שלושת השלבים.
🔵 סעיף א: שיעורי הנקודה A שעבורה היקף המלבן ABOC מינימלי
הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f(x) = 10 − √x . מן הנקודה A מורידים אנכים לצירים, החותכים אותם בנקודות B ו־C , כמתואר בציור. O – ראשית הצירים. א. מהם שיעורי הנקודה A שעבורה היקף המלבן ABOC הוא מינימלי?
שלב 1: פונקציית המטרה. הנקודה A(x , 10 − √x) .
xA = xB = x , yA = yC = 10 − √x
מסמנים את היקף המלבן ב־p :
p = 2·OB + 2·OC
p = 2x + 2(10 − √x)
p = 2x + 20 − 2√x
שלב 2: גוזרים ומשווים ל־0. תזכורת: (√x)' = 12√x , ולכן (2√x)' = 2·12√x = 1√x
p' = 2 − 1√x = 0
מעבירים אגפים וכופלים בהצלבה:
21 = 1√x
1 = 2√x /:2
12 = √x /()²
14 = x
בדיקה: 1 ≟ 2·√14 → 1 = 1 ✓
שלב 3: מוכיחים מינימום. לא מציבים 0 (מכנה 0). לוקחים 19 לפני ו־1 אחרי:
p'(19) = 2 − 1√19 = 2 − 113
= 2 − 3 = −1 < 0
p'(1) = 2 − 1√1
= 2 − 1 = 1 > 0
| x | 19 | 14 | 1 |
| p' | − | 0 | + |
| p | ↘ | min | ↗ |
ירידה ואחריה עלייה – נקודת מינימום. מציבים x = 14 בפונקציה:
f(14) = 10 − √14
= 10 − 12 = 912
תשובה: A(14 , 912)
🟢 סעיף ב: ההיקף המינימלי של המלבן ABOC
ב. מהו ההיקף המינימלי של המלבן ABOC ?
מציבים x = 14 בהיקף p = 2x + 20 − 2√x :
p(14) = 2·14 + 20 − 2√14
= 12 + 20 − 1 = 1912
תשובה: p = 1912
💡 לזכור
בבדיקת המינימום בוחרים מספרים "נוחים" מתוך תחום ההגדרה – לא 0 (מכנה 0), ועדיף מספר ששורשו יוצא שלם, כמו 19 .
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.ilלעמוד הקורס⇐
