נושא השיעור חקירת פולינום

שלבי חקירה

1. מציאת תחום ההגדרה:

• כל המספרים הממשיים: פונקציות פולינומיות מוגדרות לכל ערך של x.

2. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים:

• עם ציר ה-y: הצב x=0 בפונקציה כדי למצוא את נקודת החיתוך.

• עם ציר ה-x: פתור את המשוואה f(x)=0. זה עשוי לדרוש פירוק לגורמים או שימוש בנוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות.

3. מציאת נקודות קיצון/פיתול:

• נגזרת ראשונה:

  • מצא את הנגזרת הראשונה כדי למצוא נקודות קיצון.

  • נשווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה.(נמצא את x)

  • מציאת ערך y של ה-x שמצאנו.

4. מציאת תחומי עליה וירידה:

נבדוק את סימן הנגזרת בכל אינטרוול כדי לקבוע תחומי עלייה וירידה.

5. שרטוט הגרף.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון עשינו חקירת פונקציה מלאה של פולינום ממעלה שלישית, סעיף אחרי סעיף, עד הסרטוט. כאן היא כתובה לפי הסדר 👇

📝 השאלה

שאלה: נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 12x.

א. מצא תחום הגדרה.

ב. מצא נקודות חיתוך עם הצירים.

ג. מצא נקודות קיצון וקבע את סוגן.

ד. מצא תחומי עלייה וירידה.

ה. שרטט את הפונקציה.

🟡 הסעיפים

סעיף א: תחום הגדרה.

בפולינום אין שבר, ולכן אפשר להציב כל x.

לעומת זאת, כשיש x במכנה, אסור שהמכנה יהיה 0. למשל:

y = 1x → x ≠ 0

y = 1x − 2

x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2

תשובה: כל x

סעיף ב: נקודות חיתוך עם הצירים.

עם ציר y מציבים x = 0:

f(0) = 0³ − 12·0 = 0 ← (0 , 0)

עם ציר x מציבים y = 0:

0 = x³ − 12x

מוציאים x כגורם משותף:

0 = x(x² − 12)

x = 0 או x² − 12 = 0

x² = 12

x = ±√12 ≈ ±3.46

תשובה: (0 , 0) , (√12 , 0) , (−√12 , 0)

סעיף ג: נקודות קיצון וסוגן.

גוזרים ומשווים ל־0:

f'(x) = 3x² − 12 = 0

3x² = 12 ← מחלקים ב־3

x² = 4

x = ±2

מציבים בפונקציה:

f(2) = 2³ − 12·2

= 8 − 24 = −16

f(−2) = (−2)³ − 12·(−2)

= −8 + 24 = 16

מציבים בנגזרת מספר בכל תחום:

f'(−3) = 3·(−3)² − 12

= 15 > 0

f'(0) = 3·0² − 12

= −12 < 0

f'(3) = 3·3² − 12

= 15 > 0

x	−3	−2	0	2	3
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	max	↘	min	↗

תשובה: (−2 , 16) נקודת מקסימום
(2 , −16) נקודת מינימום

סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.

לפי הטבלה מסעיף ג:

תשובה: עלייה: x < −2 , x > 2
ירידה: −2 < x < 2

סעיף ה: שרטוט.

מסמנים את נקודות החיתוך ואת נקודות הקיצון, ומחברים לפי תחומי העלייה והירידה:

💡 לזכור

כשמחפשים חיתוך עם ציר x בפולינום בלי מספר חופשי, מוציאים x כגורם משותף: x(x² − 12) = 0 , ואז כל גורם שווה 0. וכשמציבים מספר שלילי בחזקה, שמים אותו בסוגריים.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il