מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 78- תרגיל 2 אנליטית בשילוב טריגונומטריה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
תרגיל 2 בפרק אנליטית בשילוב טריגונומטריה: שני ישרים מקבילים ואנך ביניהם. מוצאים נקודת חיתוך, שטח טרפז בעזרת נוסחת המרחק, זווית בעזרת טנגנס ושטח משולש בעזרת סינוס.
📌 נתון:
נתונים שני ישרים:
ישר I: y = 2x + 10
ישר II: y = 2x − 10
ישר I חותך את ציר y בנקודה A. ישר II חותך את ציר y בנקודה C. דרך הנקודה A העבירו אנך לישר II, החותך את הישר II בנקודה B (ראה ציור).
🔵 סעיף א: מציאת שיעורי הנקודה B – חיתוך האנך מ־A עם הישר II
מצא את השיעורים של הנקודה B.
1. הנקודות A ו־C – על ציר y, מציבים x = 0:
y = 2 · 0 + 10 = 10 ⇐ A(0 , 10)
y = 2 · 0 − 10 = −10 ⇐ C(0 , −10)
2. משוואת AB – AB מאונך לישר II. שיפוע מאונך: הופכי ונגדי:
mII = 2
mAB = −12
A נמצאת על ציר y, ולכן b = 10:
y = −12x + 10
3. משווים בין AB לישר II:
−12x + 10 = 2x − 10
20 = 212x
x = 8
מציבים בישר II:
y = 2 · 8 − 10 = 6
תשובה: B(8 , 6)
🟣 סעיף ב: חישוב שטח הטרפז ABCM בעזרת נוסחת המרחק בין שתי נקודות
ישר I חותך את ציר x בנקודה M. מצא את שטח הטרפז ABCM.
1. הנקודה M – על ציר x, מציבים y = 0 בישר I:
0 = 2x + 10
x = −5 ⇐ M(−5 , 0)
הישרים I ו־II מקבילים (שיפוע 2), ולכן AM ∥ BC – אלה הבסיסים, ו־AB (המאונך) הוא הגובה.
S = (BC + AM) · AB2
2. נוסחת המרחק:
d = √(x2 − x1)² + (y2 − y1)²
AM = √(−5 − 0)² + (0 − 10)²
AM = √25 + 100 = √125
BC = √(0 − 8)² + (−10 − 6)²
BC = √64 + 256 = √320
AB = √(8 − 0)² + (6 − 10)²
AB = √64 + 16 = √80
3. מציבים בנוסחה:
S = (√320 + √125) · √802
במחשבון:
S = 130
תשובה: SABCM = 130
🟢 סעיף ג: מציאת הזווית ACB בעזרת טנגנס במשולש ישר הזווית ABC
מצא את ∢ACB.
המשולש ABC ישר זווית ב־B.
הניצב מול הזווית: AB = √80
הניצב ליד הזווית: BC = √320
tanα = ניצב מולניצב ליד
tanα = √80√320
במחשבון:
tan−1(√80√320) = 26.56
תשובה: ∢ACB = α = 26.56°
🔷 סעיף ד: חישוב שטח המשולש AMC בעזרת זוויות מתחלפות ונוסחת השטח עם סינוס
מצא את שטח המשולש AMC.
מ־A עד ראשית הצירים 10, ומראשית הצירים עד C עוד 10:
AC = 20
AM ∥ BC , ולכן זוויות מתחלפות:
∢CAM = ∢ACB = 26.56°
נוסחת שטח משולש (שתי צלעות והזווית שביניהן):
S = 12 · a · b · sinα
S = 12 · AM · AC · sin26.56
S = 12 · √125 · 20 · sin26.56
S = 49.99 ≈ 50
תשובה: SAMC = 50
💡 לזכור
שני ישרים עם אותו שיפוע מקבילים, ואנך לאחד מהם מאונך גם לשני – הוא הגובה של הטרפז. זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il