מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 6: שווה שוקיים: חוצה זווית, תיכון וגובה
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 2 · משולשים · שיעור 6
📄 דף הסבר: שווה שוקיים: חוצה זווית, תיכון וגובה
הקטע מזווית הראש הוא חוצה זווית, תיכון וגובה – והמשפטים ההפוכים
חוצה זווית הראש = תיכון = גובה
AB = AC , AD חוצה את ∢A ← נתון
📐 📐 משפט: במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
BD = DC ← AD הוא תיכון לבסיס
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
AD ⊥ BC , ∢ADB = 90 ← AD הוא גובה לבסיס
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
💡 זה עובד גם הפוך: במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית וגם גובה, והגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית וגם תיכון
מתי משולש הוא שווה שוקיים?
📐 📐 חוצה זווית שהוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים
📐 📐 תיכון שהוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים
📐 📐 חוצה זווית שהוא גם תיכון ← המשולש שווה שוקיים
כלומר: אם קטע שיוצא מקדקוד הוא שניים מתוך שלושה (חוצה זווית, תיכון, גובה) ← AB = AC
שווה שוקיים: חוצה זווית הראש = תיכון = גובה · שניים מתוך שלושה ← שווה שוקיים ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: שני חישובים, משפט הפוך, הוכחה ותרגיל מורכב. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: חוצה זווית הראש · קל
במשולש ABC: AB = AC , AD חוצה את ∢A , BC = 12 , ∢B = 65
מצאו את BD , ∢ADB ו־∢BAD
מצאו את BD , ∢ADB ו־∢BAD
AB = AC , AD חוצה זווית , BC = 12 , ∢B = 65 ← נתון
AD הוא גם תיכון: BD = DC ← במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא תיכון
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
BD = 12 : 2 = 6 ← D אמצע BC
AD הוא גם גובה: ∢ADB = 90 ← במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גובה
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
∢BAD + ∢B + ∢ADB = 180 ← סכום הזוויות במשולש ABD
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢BAD = 180 − 65 − 90 = 25 ← מציבים ומעבירים אגף
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
✅ פתרון סופי: BD = 6 , ∢ADB = 90 , ∢BAD = 25
🟢 תרגיל 2: תיכון לבסיס + משוואה · בינוני
במשולש ABC: AB = AC ו־AD תיכון לבסיס
נתון: ∢BAD = 3x + 5 , ∢CAD = 5x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש
נתון: ∢BAD = 3x + 5 , ∢CAD = 5x − 15. מצאו את x ואת זוויות המשולש
AB = AC , BD = DC ← נתון
AD הוא גם חוצה זווית: ∢BAD = ∢CAD ← במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא חוצה זווית
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
3x + 5 = 5x − 15 ← מציבים את הנתונים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
5 + 15 = 5x − 3x ← מעבירים אגפים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
20 = 2x ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
x = 10 ← מחלקים את שני האגפים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢BAD = 3 · 10 + 5 = 35 ← מציבים x = 10
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢CAD = 5 · 10 − 15 = 35 ✔ ← מציבים x = 10 (יצא שווה)
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢BAC = 35 + 35 = 70 ← הקרן AD בתוך הזווית
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
∢B = ∢C = (180 − 70) : 2 = 55 ← זוויות הבסיס שוות, וסכום הזוויות 180
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: x = 10 , ∢A = 70 , ∢B = ∢C = 55
🟣 תרגיל 3: משפט הפוך · בינוני
במשולש ABC הקטע AD הוא תיכון וגם גובה (D על BC)
נתון: AB = 9 , ∢B = 50. מצאו את AC ואת ∢A
נתון: AB = 9 , ∢B = 50. מצאו את AC ואת ∢A
BD = DC , AD ⊥ BC , AB = 9 , ∢B = 50 ← נתון
AB = AC ← תיכון שהוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים
📐 משפט הפוך: אם תיכון במשולש הוא גם גובה ← המשולש שווה שוקיים
AC = 9 ← מציבים AB = 9
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢C = ∢B = 50 ← במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢A = 180 − 50 − 50 = 80 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: AC = 9 , ∢A = 80
🔷 תרגיל 4: הוכחה · מורכב
במשולש ABC הקטע AD חוצה את ∢A וגם מאונך ל־BC
הוכיחו בעזרת סכום זוויות: AB = AC
הוכיחו בעזרת סכום זוויות: AB = AC
AD חוצה את ∢A , AD ⊥ BC ← נתון
∢BAD = ∢CAD ← הגדרת חוצה זווית
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
∢ADB = ∢ADC = 90 ← הגדרת גובה
📐 הגדרה: גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו ∢ADB = 90
∢B = 180 − 90 − ∢BAD ← סכום הזוויות במשולש ABD
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢C = 180 − 90 − ∢CAD ← סכום הזוויות במשולש ACD
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢B = ∢C ← בשני הביטויים אותם מספרים, ו־∢BAD = ∢CAD
AB = AC ← אם במשולש שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
📐 משפט הפוך: אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות) ∢B = ∢C ⟹ AB = AC
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = AC – המשולש שווה שוקיים
🔵 תרגיל 5: מורכב: שילוב משפטים
AB = AC , ∢BAC = 40 , AD גובה לבסיס. BE חוצה את ∢B ונפגש עם AD בנקודה E
מצאו את ∢ABE , ∢AEB ו־∢BED
מצאו את ∢ABE , ∢AEB ו־∢BED
AB = AC , ∢BAC = 40 , AD ⊥ BC , BE חוצה את ∢B ← נתון
∢B = ∢C = (180 − 40) : 2 = 70 ← זוויות הבסיס שוות, וסכום הזוויות 180
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢ABE = ∢EBD = 70 : 2 = 35 ← BE חוצה את ∢B
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
AD גם חוצה את ∢A: ∢BAD = 40 : 2 = 20 ← במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא חוצה זווית
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
∢AEB = 180 − 20 − 35 = 125 ← סכום הזוויות במשולש ABE
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢BED = 180 − 125 = 55 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
בדיקה: 35 + 90 + 55 = 180 ✔ ← סכום הזוויות במשולש BED
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: ∢ABE = 35 , ∢AEB = 125 , ∢BED = 55
💡 לזכור
המשפט נכון רק לקטע שיוצא מזווית הראש אל הבסיס. כותבים בכל שורה איזה תפקיד יש לקטע (תיכון / גובה / חוצה זווית).
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il