נושא השיעור-נלמד בשיעור על הקשר בין הפונקציה לנגזרת

הקשר הגרפי

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה מאפשר לנו "לקרוא" את התנהגות הפונקציה על סמך גרף הנגזרת.

• נגזרת חיובית: כאשר הנגזרת חיובית, הפונקציה המקורית עולה.

• נגזרת שלילית: כאשר הנגזרת שלילית, הפונקציה המקורית יורדת.

• נגזרת מתאפסת: כאשר הנגזרת מתאפסת, הפונקציה המקורית מגיעה לנקודת קיצון (מקסימום או מינימום).

• נגזרת משנה סימן: כאשר הנגזרת משנה סימן מחיובי לשלילי או להיפך, הפונקציה המקורית עוברת מנקודת קיצון.

לחוברת הקורס⇐

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון למדנו לקרוא את הפונקציה מתוך הגרף של הנגזרת שלה. כאן שלושת הכללים והתרגיל שנפתר, שלב אחרי שלב 👇

🟣 שלושה כללים: קוראים את f מתוך הגרף של f'

1. נקודות הקיצון של f(x) הן נקודות האפס של f'(x) (חיתוך עם ציר ה־x)

2. תחומי הירידה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת שלילית (f'(x) < 0) ← גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x

3. תחומי העלייה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת חיובית (f'(x) > 0) ← גרף הנגזרת מעל ציר ה־x

🟡 התרגיל מהסרטון

הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x ≠ 0 . בציור שלפניך מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f'(x) , המוגדרת גם היא לכל x ≠ 0 , וחותכת את ציר ה־x בנקודות (2 , 0) , (−2 , 0) .
מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן על פי הגרף.

פתרון

שלב 1: נקודות האפס של הנגזרת (איפה שהגרף שלה חותך את ציר ה־x):

x = −2 , x = 2

שלב 2: קוראים את הסימן של f'(x) מהגרף:

משמאל ל־−2 : הגרף מעל ציר ה־x ← f'(x) > 0 ← f עולה ↗

בין −2 ל־0: הגרף מתחת לציר ← f'(x) < 0 ← f יורדת ↘

בין 0 ל־2: הגרף מתחת לציר ← f יורדת ↘

מימין ל־2: הגרף מעל ציר ה־x ← f עולה ↗

שלב 3: קובעים סוג:

ב־x = −2 : עולה ואז יורדת ↗↘ ← מקסימום

ב־x = 2 : יורדת ואז עולה ↘↗ ← מינימום

ב־x = 0 הפונקציה לא מוגדרת, ולכן אין שם קיצון.

תשובה: x = −2 מקסימום , x = 2 מינימום

💡 לזכור

כשנותנים גרף של הנגזרת, לא מחפשים בו "הרים ובורות". מחפשים איפה הוא חותך את ציר ה־x (שם הקיצון), ואיפה הוא מעל הציר (f עולה) או מתחת לציר (f יורדת).

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il