מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 10 -פתרון בגרות 2019 מועד א שאלון 481 4 יחידות-בעיית קיצון עם גרפים
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2019 מועד א (שאלון 481) נקודה A נמצאת על חצי מעגל – גרף הפונקציה f(x) = √25 − x² . בונים משולש ABO, מבטאים את שטחו באמצעות t וגוזרים לפי נגזרת של מכפלה ושל שורש.
🔷 סעיף א(1): הבעת שיעורי הנקודה B באמצעות t
בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f(x) = √25 − x² המוגדרת בתחום −5 ≤ x ≤ 5 . הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון. דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־x . הישר חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה B שברביע השני. הנקודה O היא ראשית הצירים. נסמן את שיעור ה־x של הנקודה A ב־t .
א. (1) הבע באמצעות t את שיעורי הנקודה B .
א. (1) הבע באמצעות t את שיעורי הנקודה B .
A נמצאת על הגרף, לכן מציבים t בפונקציה:
A(t , √25 − t²)
B נמצאת על אותו ישר אופקי, לכן ה־y שלה שווה לזה של A, ונשאר למצוא את ה־x שלה.
דרך 1: משווים את ה־y של B לפונקציה:
√25 − t² = √25 − x²
מעלים בריבוע:
25 − t² = 25 − x²
x² = t² → x = ±t
x = t זו הנקודה A, ולכן ב־B: x = −t
דרך 2: הפונקציה זוגית (סימטרית לציר ה־y):
f(x) = f(−x)
f(−x) = √25 − (−x)²
= √25 − x²
לכן לנקודה שמול A בצד השני של ציר ה־y יש אותו גובה, וה־x שלה הוא −t .
תשובה: B(−t , √25 − t²)
🔵 סעיף א(2): הבעת שטח המשולש ABO באמצעות t
א. (2) הבע באמצעות t את שטח המשולש ABO .
בסיס המשולש הוא AB – מ־−t עד t :
AB = t − (−t) = 2t
הגובה לבסיס הוא ה־y של A:
h = √25 − t²
S = AB · h2 = 2t · √25 − t²2
מצמצמים ב־2:
תשובה: S = t · √25 − t²
🟣 סעיף ב: מציאת t שעבורו שטח המשולש ABO מקסימלי
ב. מצא את t שבעבורו שטח המשולש ABO הוא מקסימלי. תוכל להשאיר שורש בתשובתך.
גוזרים לפי נגזרת של מכפלה:
(f(x)·g(x))' =
f'(x)·g(x) + g'(x)·f(x)
והנגזרת של שורש:
(√f(x))' = f'(x)2√f(x)
כאן f = t ו־g = √25 − t² :
S' = 1·√25 − t²
+ −2t2√25 − t²·t = 0
מצמצמים ב־2:
S' = √25 − t² − t²√25 − t² = 0
√25 − t²1 = t²√25 − t²
כופלים בהצלבה:
25 − t² = t²
25 = 2t²
t² = 12.5
t = √12.5 ≈ 3.54 (ברביע הראשון t > 0)
בודקים max או min – מציבים בנגזרת ערך משמאל ומימין:
S'(1) = √24 − 1√24 > 0
S'(4) = √9 − 16√9
= 3 − 163 < 0
| t | 1 | √12.5 | 4 |
|---|---|---|---|
| S' | + | 0 | − |
| S | ↗ | max | ↘ |
הנגזרת עוברת מ־+ ל־−, לכן זו נקודת מקסימום.
תשובה: t = √12.5
💡 לזכור
נקודה על גרף של פונקציה זוגית: הנקודה שמולה בצד השני של ציר ה־y היא (−t , f(t)) , ולכן הבסיס הוא 2t .
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il