מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 1-מהי בעיית קיצון
בעיות קיצון · 4 יחידות · שאלון 471
📄 דף הסבר: מהי בעיית קיצון
בבעיית קיצון מחפשים מתי גודל מסוים (שטח, היקף, אורך…) יהיה הכי גדול – מקסימלי, או הכי קטן – מינימלי
מה זו בעיית קיצון?
נותנים לנו נתון קבוע (למשל היקף של גדר) ושואלים איך לבנות את הצורה כך שגודל אחר יהיה מקסימלי או מינימלי. אפשר לנחש הרבה אפשרויות – אבל את התשובה המדויקת מוצאים בעזרת נגזרת.
פונקציית המטרה
S = x·y
את מה שמבקשים בשאלה (כאן השטח) מבטאים על ידי נעלם אחד – x או y. זו פונקציית המטרה.
איך מגיעים לנעלם אחד?
יש בשאלה שני נעלמים, אבל גם נתון שמקשר ביניהם (למשל 2x + 2y = 16). מבודדים מהנתון את y (או את x) ומציבים בפונקציית המטרה.
מקסימום או מינימום?
נגזרת חיובית ← הפונקציה עולה ↗. נגזרת שלילית ← הפונקציה יורדת ↘. עולה ואחר כך יורדת ← max. יורדת ואחר כך עולה ← מינימום.
שלביםפתרון בעיית קיצון
1פונקציית המטרה
מבטאים את הדרוש בשאלה על ידי נעלם אחד.
2נגזור ונשווה ל־0
גוזרים את פונקציית המטרה, משווים את הנגזרת ל־0 ומוצאים את x.
3מוכיחים max או מינימום
מציבים בנגזרת x קטן יותר ו־x גדול יותר, ובודקים בטבלה אם הפונקציה עולה או יורדת.
4עונים על השאלה
מציבים את x כדי למצוא את y ואת מה ששאלו (למשל השטח המקסימלי).
פונקציית המטרה ← נגזור ונשווה ל־0 ← טבלה: max או מינימום ← תשובה ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו בעיית קיצון מהחיים: בונים סוכה מלבנית מהיקף גדר של 16 מטר, ומחפשים את המידות שנותנות לסוכה שטח מקסימלי – קודם בניחוש, ואחר כך בצורה מתמטית.
🔵 ניחוש: איזו סוכה בהיקף 16 מטר נותנת שטח גדול יותר?
יש לנו היקף גדר של 16 מטר, ורוצים לבנות סוכה מלבנית ששטחה יהיה מקסימלי. בודקים כמה אפשרויות:
א. סוכה 5 על 3: היקף 5 + 5 + 3 + 3 = 16 ✔
שטח S = 5·3 = 15 מ"ר
ב. סוכה 6 על 2: היקף 6 + 6 + 2 + 2 = 16 ✔
שטח S = 6·2 = 12 מ"ר – יותר קטן
ג. סוכה 4 על 4: היקף 4 + 4 + 4 + 4 = 16 ✔
שטח S = 4·4 = 16 מ"ר
אפשר לבדוק הרבה ניחושים, אבל רק חישוב מתמטי יוכיח איזו סוכה נותנת שטח מקסימלי.
תשובה: הגדול מבין הניחושים – סוכה 4 על 4, S = 16 מ"ר
🟢 שלב 1: פונקציית המטרה – שטח הסוכה באמצעות נעלם אחד
נסמן את צלעות הסוכה (מלבן) ב־x וב־y. נתון שההיקף 16, ומחפשים שטח מקסימלי.
הנתון: 2x + 2y = 16 /:2
x + y = 8
y = 8 − x
מבקשים: max S = x·y (אורך כפול רוחב)
מציבים את y:
S = x(8 − x)
S = 8x − x²
תשובה: פונקציית המטרה S = 8x − x²
🟣 שלב 2: גוזרים את S ומשווים ל־0
גזרו את פונקציית המטרה S = 8x − x² ומצאו את x.
S' = 8 − 2x
8 − 2x = 0
8 = 2x /:2
x = 4
תשובה: x = 4
🔷 שלב 3: הוכחה ש־x = 4 היא נקודת מקסימום (טבלה)
הוכיחו שעבור x = 4 השטח מקסימלי.
לוקחים x קטן מ־4 (x = 1) ו־x גדול מ־4 (x = 5), ומציבים בנגזרת S' = 8 − 2x:
S'(1) = 8 − 2·1 = 6 > 0 ← חיובית, הפונקציה עולה
S'(5) = 8 − 2·5 = −2 < 0 ← שלילית, הפונקציה יורדת
| x | 1 | 4 | 5 |
| S' | + | 0 | − |
| S | ↗ | max | ↘ |
הפונקציה עולה ואחר כך יורדת סביב 4 ← נקודת מקסימום.
תשובה: x = 4 – max
🟢 שלב 4: מידות הסוכה והשטח המקסימלי
מצאו את y ואת השטח המקסימלי.
מציבים x = 4 ב־y = 8 − x:
y = 8 − 4 = 4
הסוכה היא ריבוע 4 על 4 – בדיוק הסוכה שניחשנו בהתחלה.
S = 4·4 = 16
תשובה: x = 4 , y = 4 , שטח מקסימלי S = 16 מ"ר
💡 לזכור
מבטאים את מה שמבקשים בעזרת נעלם אחד (פונקציית המטרה) ← נגזור ונשווה ל־0 ← מוכיחים בטבלה: עולה ואז יורדת = max, יורדת ואז עולה = מינימום.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il