שיעור 2- הסבר כללי ותרגיל בנושא מציאת שיפוע משיק נקודת השקה ומשוואת משיק

תרגיל בנושא מציאת שיפוע משיק נקודת השקה ומשוואת משיק

חשבון דיפרנציאלי · נגזרות

📄 דף הסבר: מציאת משוואת משיק

שיטה קבועה ב־4 צעדים

מה זה משיק?

משיק לגרף בנקודה הוא ישר שנוגע בגרף בנקודה הזו ו"הולך באותו כיוון" כמו הגרף באותו מקום. כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני דברים: נקודה על הישר ושיפוע. את הנקודה נותן לנו הגרף, ואת השיפוע נותנת לנו הנגזרת.

הרעיון המרכזי

m = f′(x₀)

שיפוע המשיק = ערך הנגזרת בנקודת ההשקה

השיטה4 צעדים למשוואת משיק

1נקודת ההשקה

מזהים את x₀ (הוא נתון, או שמוצאים אותו),

ומחשבים את y₀ = f(x₀)

מקבלים את הנקודה (x₀, y₀)

2גוזרים

מוצאים את פונקציית הנגזרת f′(x)

3מחשבים שיפוע

מציבים את x₀ בנגזרת ומקבלים מספר:

m = f′(x₀)

4משוואת המשיק

מציבים בנוסחה y − y₀ = m(x − x₀)

ומסדרים לצורה y = mx + b

לסיכום: נקודה (x₀, f(x₀)) + שיפוע m = f′(x₀) ← משיק y − y₀ = m(x − x₀)

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון הסברנו מה זה משיק, איך מוצאים את השיפוע שלו ואת משוואת המשיק, ופתרנו תרגיל בשתי נקודות. הנה סיכום הנושא והתרגילים, שלב אחרי שלב 👇

📖 סיכום הנושא: שיפוע משיק ומשוואת משיק

מה זה משיק?

קו ישר שנוגע בגרף הפונקציה בנקודה אחת ולא חותך אותו. הנקודה הזאת נקראת נקודת ההשקה.

שני כללים חשובים

1. שיפוע המשיק שווה לשיפוע של הפונקציה בנקודת ההשקה.

2. שיפוע הפונקציה שווה לנגזרת: m = y'

משוואת המשיק (משיק הוא קו ישר, כמו באנליטית):

y − y₁ = m(x − x₁)

צריך נקודה (x₁ , y₁) ושיפוע m

🟡 התרגיל מהסרטון

נתונה הפונקציה y = x².
א. מצאו את שיפוע המשיק ואת נקודת ההשקה בנקודות x = 2 ו־x = −1.
ב. מצאו את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x = 2.

תרגיל 1: בנקודה x = 2

נקודת ההשקה: מציבים 2 בפונקציה המקורית:

y = 2² = 4

הנקודה: (2 , 4)

השיפוע: גוזרים ומציבים 2 בנגזרת:

m = y' = 2x

m = 2·2 = 4

משוואת המשיק (סעיף ב):

y − 4 = 4(x − 2)

y − 4 = 4x − 8

מעבירים את 4 לצד השני:

תשובה: נקודת השקה (2 , 4)
שיפוע m = 4
משיק
y = 4x − 4

תרגיל 2: בנקודה x = −1

נקודת ההשקה: מציבים −1 בפונקציה:

y = (−1)² = 1

הנקודה: (−1 , 1)

השיפוע: אותה נגזרת, אבל מציבים x = −1:

m = 2·(−1) = −2

בסרטון מצאנו גם את משוואת המשיק כאן:

y − 1 = −2(x − (−1))

y − 1 = −2(x + 1)

y − 1 = −2x − 2

מעבירים את 1 לצד השני:

תשובה: נקודת השקה (−1 , 1)
שיפוע m = −2
משיק
y = −2x − 1

💡 לזכור

לכל נקודה על הגרף יש שיפוע אחר. את הנגזרת מוצאים פעם אחת, ואז מציבים בה את ה־x של הנקודה. את ה־y של נקודת ההשקה מוצאים בהצבה בפונקציה המקורית.

מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים