שיעור 15-תחומי עליה וירידה 1

נושא השיעור-מציאת תחומי עליה וירידה

כיצד מוצאים תחומי עלייה וירידה?

1. גזירה: מוצאים את הנגזרת הראשונה של הפונקציה.

2. מציאת נקודות קיצון: משווים את הנגזרת הראשונה לאפס ופותרים את המשוואה. הפתרונות הם הנקודות  החשודות כנקודות קיצון.

3. בדיקת סימן הנגזרת: בוחנים את סימן הנגזרת הראשונה בכל אחד מהאינטרוולים שנוצרו על ידי הנקודות הקיצון:

   • נגזרת חיובית: הפונקציה עולה באינטרוול זה.

   • נגזרת שלילית: הפונקציה יורדת באינטרוול זה.

דוגמה: נמצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) = x^3 – 3x^2.

1. גזירה: f'(x) = 3x^2 – 6x.

2. נקודות קיצון: 3x^2 – 6x = 0 <=> 3x(x – 2) = 0 <=> x = 0 או x = 2.

3. בדיקת סימן הנגזרת:

   • עבור x < 0: f'(x) > 0 (חיובית), לכן הפונקציה עולה.

   • עבור 0 < x < 2: f'(x) < 0 (שלילית), לכן הפונקציה יורדת.

   • עבור x > 2: f'(x) > 0 (חיובית), לכן הפונקציה עולה.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון למדנו לזהות מגרף איפה הפונקציה עולה ואיפה היא יורדת, ופתרנו 3 תרגילים. כאן הכל מסודר 👇

📋 מה צריך לדעת

תחומי עלייה וירידה:

קוראים את הגרף משמאל לימין, כמו שמתקדמים על ציר x.

הגרף עולה ↗ ← הפונקציה עולה

הגרף יורד ↘ ← הפונקציה יורדת

נקודות הקיצון הן הגבולות בין התחומים, ואת התחום כותבים בעזרת ערכי x בלבד.

🟡 התרגילים מהסרטון

תרגיל 1: מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שבגרף: פרבולה עם נקודת מינימום ב־x = 0.

משמאל לנקודת המינימום הגרף יורד, ומימין לה הוא עולה.

תשובה: ירידה: x < 0
עלייה: x > 0

תרגיל 2: מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שבגרף: פרבולה הפוכה עם נקודת מקסימום ב־x = −2.

משמאל לנקודת המקסימום הגרף עולה, ומימין לה הוא יורד.

תשובה: עלייה: x < −2
ירידה: x > −2

תרגיל 3: מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שבגרף: יש לה נקודת מקסימום ב־x = −2 ונקודת מינימום ב־x = 2.

עד המקסימום הגרף עולה, בין המקסימום למינימום הוא יורד, ואחרי המינימום הוא שוב עולה.

x		−2		2
f(x)	↗	max	↘	min	↗

תשובה: עלייה: x < −2 , x > 2
ירידה: −2 < x < 2

💡 לזכור

תחום עלייה או ירידה כותבים תמיד לפי x (לא לפי y). ותחום שנמצא בין שתי נקודות קיצון כותבים כאי־שוויון כפול, למשל −2 < x < 2.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il