מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 86 – תרגיל 10 אנליטית בשילוב טריגונומטריה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
תרגיל בנוסח בגרות חורף 2024 (שאלון 471): טרפז ישר זווית במערכת צירים – שיפועים של ישרים מאונכים ומקבילים, נוסחת המרחק, tan במשולש ישר זווית, זוויות מתחלפות ושטח משולש בעזרת sin.
בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD (AB ∥ DC , ∢D = 90°). הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והקודקוד C נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. הבסיס CD חותך את ציר ה־y בנקודה H. נתון: הנקודה E(2,7) נמצאת על הבסיס AB. משוואת שוק הטרפז AD היא y = −2x + 16.
🔵 סעיף א: שיעורי הקודקוד B – שיפוע הופכי ונגדי ומשוואת הישר AB
מצאו את שיעורי הקודקוד B.
∢A = ∢D = 90° (סכום זוויות צמודות לשוק = 180°)
AB מאונך ל־AD ← השיפועים הופכיים ונגדיים:
mAD = −2 → mAB = 12
משוואת AB דרך E(2,7) = (x₁,y₁):
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 7 = 12(x − 2)
y − 7 = 12x − 1
y = 12x + 6 ← AB
B על ציר y ← x = 0:
y = 12·0 + 6 = 6
תשובה: B(0,6)
🟢 סעיף ב: שיעורי הקודקוד C בעזרת אורך השוק BC = √72
נתון כי אורך השוק BC של הטרפז הוא √72. מצאו את שיעורי הקודקוד C.
C על ציר x ← C(x,0)
d = √(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²
B(0,6) = (x₁,y₁)
C(x,0) = (x₂,y₂)
√72 = √(x−0)²+(0−6)²
מעלים בריבוע:
72 = x² + 36
36 = x²
x = ±6
C על החלק השלילי של ציר x ← xc = −6
תשובה: C(−6,0)
🟣 סעיף ג: גודל הזווית CBO בעזרת tan במשולש ישר הזווית COB
מצאו את גודל הזווית CBO (O היא ראשית הצירים).
המשולש COB ישר זווית ב־O. נסמן ∢CBO = α.
CO = 6 , BO = 6
ניצב מול הזווית חלקי ניצב ליד הזווית:
COBO = tanα
66 = 1 = tanα
במחשבון: shift tan(1)
תשובה: α = ∢CBO = 45°
🔷 סעיף ד(1): משוואת הישר CD – ישר מקביל ל־AB
מצאו את משוואת הישר CD.
AB ∥ CD ← השיפועים שווים:
mAB = mCD = 12
C(−6,0) = (x₁,y₁)
y − 0 = 12(x + 6)
תשובה: y = 12x + 3
🔵 סעיף ד(2): גודל הזווית CHB – tan במשולש COH וזווית שטוחה
מצאו את גודל הזווית CHB.
H על ציר y ← xH = 0, מציבים במשוואת CD:
y = 12·0 + 3 = 3
yH = 3 ← H(0,3)
במשולש COH (ישר זווית ב־O):
CO = 6 , OH = 3
63 = tanβ
β = ∢CHO = 63.43°
זווית שטוחה:
∢CHB = 180° − 63.43°
תשובה: ∢CHB = 116.57°
🟢 סעיף ה: שטח המשולש CBE – זוויות מתחלפות ושטח משולש עם sin
חשבו את שטח המשולש CBE.
AB ∥ CD ← זוויות מתחלפות שוות:
∢EBH = ∢CHB = 116.57°
∢B = 45° + 116.57° = 161.57°
נוסחת המרחק בין B(0,6) ל־E(2,7):
BE = √(2−0)²+(7−6)² = √5
שתי צלעות והזווית שביניהן:
S = 12·√72·√5·sin161.57°
תשובה: S = 3
💡 לזכור
ישרים מאונכים – שיפועים הופכיים ונגדיים. ישרים מקבילים – שיפועים שווים, ולכן נוצרות זוויות מתחלפות שוות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il