מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 32-פתרון בגרות 2021 א1
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פותרים שאלה מבגרות קיץ 2021, שאלון 382: מרובע שאלכסוניו מאונכים – נקודות על הצירים, נקודת אמצע, שיפוע הופכי ונגדי, שטח משולש ונוסחת המרחק.
🔵 סעיף א: מציאת הקודקודים A ו־C – חיתוך האלכסון עם הצירים
בציור שלפניך מרובע ABCD. אלכסוני המרובע נפגשים בנקודה E. הקודקוד A נמצא על ציר ה־y, והקודקודים B ו־C נמצאים על ציר ה־x. משוואת האלכסון AC היא y = −12x + 4. א. מצא את שיעורי הקודקודים A ו־C.
הנקודה A – על ציר ה־y, מציבים x = 0:
y = −12·0 + 4 = 4
A(0,4)
הנקודה C – על ציר ה־x, מציבים y = 0:
0 = −12x + 4
12x = 4
מחלקים בחצי:
x = 8
C(8,0)
תשובה: A(0,4) , C(8,0)
🟢 סעיף ב(1): משוואת האלכסון BD – נקודת אמצע ושיפוע הופכי ונגדי
נתון: אלכסוני המרובע ABCD מאונכים זה לזה. הנקודה E היא אמצע האלכסון AC. ב. (1) מצא את משוואת האלכסון BD.
הנקודה E – נוסחת אמצע קטע:
A(0,4) → (x₁,y₁)
C(8,0) → (x₂,y₂)
xE = 0 + 82 = 4
yE = 4 + 02 = 2
E(4,2)
שיפוע AC:
mAC = y₂ − y₁x₂ − x₁ = 0 − 48 − 0
mAC = −48 = −12
האלכסונים מאונכים, לכן השיפוע של BD הופכי ונגדי:
mBD = 21 = 2
דרך E(4,2):
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 2 = 2(x − 4)
y − 2 = 2x − 8
y = 2x − 6
תשובה: y = 2x − 6
🟣 סעיף ב(2): מציאת הקודקוד B
(2) מצא את שיעורי הנקודה B.
B על ציר ה־x, מציבים y = 0 במשוואת BD:
0 = 2x − 6
6 = 2x
x = 3
תשובה: B(3,0)
🔷 סעיף ג(1): אורך הצלע BC
נתון: שטח המשולש BDC הוא 20. ג. (1) מצא את אורך הצלע BC.
B ו־C על ציר ה־x, לכן האורך הוא הפרש שיעורי ה־x:
BC = 8 − 3
תשובה: BC = 5
🔵 סעיף ג(2): שיעור ה־y של הנקודה D – בעזרת שטח המשולש
(2) מצא את שיעור ה־y של הנקודה D.
הבסיס הוא BC, והגובה מ־D לציר ה־x הוא בדיוק yD:
S = a · h2
20 = 5 · yD2
כפל בהצלבה:
40 = 5yD
מחלקים ב־5:
yD = 8
תשובה: yD = 8
🟢 סעיף ג(3): שיעור ה־x של הנקודה D
(3) מצא את שיעור ה־x של הנקודה D.
D על האלכסון BD, מציבים y = 8:
8 = 2x − 6
14 = 2x
x = 7
D(7,8)
תשובה: xD = 7
🟣 סעיף ד: הוכחה ששטח המשולש BDA שווה לשטח המשולש BDC
ד. הוכח כי שטח המשולש BDA שווה לשטח המשולש BDC.
AE מאונך ל־BD, לכן BD הוא הבסיס ו־AE הגובה אליו:
SABD = BD · AE2
AE – נוסחת המרחק בין A(0,4) ל־E(4,2):
AE = √(4 − 0)² + (2 − 4)²
AE = √16 + 4 = √20
BD – בין B(3,0) ל־D(7,8):
BD = √(7 − 3)² + (8 − 0)²
BD = √16 + 64 = √80
SABD = √80 · √202 = 20
וגם נתון:
SBDC = 20
תשובה: SBDA = SBDC = 20
💡 לזכור
כשאלכסונים מאונכים, קטע של אלכסון אחד (כמו AE) הוא גובה לאלכסון השני – וכך מחשבים שטח משולש בלי לחפש גובה חדש.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
