מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 25- פתרון בגרות 2019 א-עץ עם הסתברות מותנת
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת ההסתברות מבגרות 2019 א: נעלם (פי 3), דיאגרמת עץ של שני סיבובים, "בדיוק אחד" והסתברות מותנת 👇
2019 א: במשחק יש שני סיבובים. בכל סיבוב יש שתי אפשרויות בלבד: לזכות או להפסיד. משתתף שזוכה בשני הסיבובים מנצח במשחק כולו. ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון גדולה פי 3 מן ההסתברות להפסיד בו.
🟡 סעיף א: ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון – משוואה עם x
א. מהי ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון? נמק.
ההסתברות לזכות גדולה פי 3 מההסתברות להפסיד, לכן מסמנים:
להפסיד – x
לזכות – 3x
סך כל ההסתברויות שווה ל־1:
x + 3x = 1
4x = 1 / :4
x = 14 = 0.25 ← הסיכוי להפסיד
הסיכוי לזכות: 3 · 0.25 = 0.75
תשובה: 0.75
🔵 סעיף ב: בניית דיאגרמת עץ לשני הסיבובים
ב. אם משתתף במשחק זכה בסיבוב הראשון, ההסתברות שהוא יזכה בסיבוב השני היא 0.8. אם משתתף הפסיד בסיבוב הראשון, ההסתברות שהוא יזכה בסיבוב השני היא 0.6.
הסיבוב השני תלוי בסיבוב הראשון, לכן עושים עץ.
סיבוב ראשון: לזכות 0.75 , להפסיד 0.25
זכה בראשון ← בשני: לזכות 0.8 , להפסיד 1 − 0.8 = 0.2
הפסיד בראשון ← בשני: לזכות 0.6 , להפסיד 1 − 0.6 = 0.4
קומה ראשונה – סיבוב ראשון, קומה שנייה – סיבוב שני. מתחת לכל עלה – המכפלה לאורך הענף:
תשובה: העץ מלא – ממנו פותרים את ב1 ו־ב2
🟢 סעיף ב1: ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד מתוך שניים
ב1. מהי ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד מבין שני הסיבובים?
בדיוק בסיבוב אחד = זוכה באחד ומפסיד בשני. שני הענפים האדומים בעץ:
ענף 1: זכה ואז הפסיד ← 0.75 · 0.2 = 0.15
ענף 2: הפסיד ואז זכה ← 0.25 · 0.6 = 0.15
"או" בהסתברות ← פלוס:
0.75 · 0.2 + 0.25 · 0.6
= 0.15 + 0.15 = 0.3
תשובה: 0.3
🩷 סעיף ב2: הסתברות מותנת – זכה בסיבוב הראשון בידיעה שזכה בדיוק באחד
ב2. ידוע שמשתתף זכה בדיוק בסיבוב אחד מבין שני הסיבובים. מהי ההסתברות שהוא זכה בסיבוב הראשון?
המילה "ידוע" ← הסתברות מותנת: מה שרוצים חלקי סך כל האפשרויות.
ירוק – זכה בדיוק באחד (המכנה) · עיגול אדום – זכה בראשון (המונה)
סך כל האפשרויות (במכנה) = מה שידוע = שני הענפים הירוקים = התוצאה של ב1.
במונה: מתוכם, רק הענף שבו זכה בראשון (זכה ואז הפסיד) – העלה בעיגול.
P(זכה בסיבוב הראשוןזכה בדיוק בסיבוב אחד)
= 0.75 · 0.20.75 · 0.2 + 0.25 · 0.6
= 0.150.3 = 0.5
תשובה: 0.5
💡 לזכור
בהסתברות מותנת המכנה הוא תמיד מה ש"ידוע", והמונה הוא רק המסלולים מתוך המכנה שמתאימים למה ששואלים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
