מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 21: דמיון משולשים: ז.ז, צ.צ.צ, צ.ז.צ
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 6 · פיתגורס ודמיון · שיעור 21
📄 דף הסבר: דמיון משולשים: ז.ז , צ.צ.צ , צ.ז.צ
שלושת משפטי הדמיון ויחס הצלעות
משולשים דומים
△ABC ∼ △DEF – הסדר חשוב: A מתאים ל־D , B ל־E , C ל־F
📐 הגדרה: משולשים דומים: כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות באותו יחס k (יחס הדמיון)
∢A = ∢D , ∢B = ∢E , ∢C = ∢F ← זוויות מתאימות שוות
📐 הגדרה: משולשים דומים: כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות באותו יחס k (יחס הדמיון)
AB : DE = BC : EF = AC : DF = k ← צלעות מתאימות באותו יחס
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
4 : 6 = 6 : 9 = 5 : 7.5 = 2 : 3 , כלומר k = 2 : 3 ← מחשבים את יחס הדמיון
📐 📐 משפטי דמיון: ז.ז (שתי זוויות) · צ.צ.צ (שלוש צלעות באותו יחס) · צ.ז.צ (שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן)
ז.ז · צ.צ.צ · צ.ז.צ ← דומים · ואז AB : DE = BC : EF = AC : DF = k ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: ז.ז עם ישר מקביל, צ.צ.צ, צ.ז.צ, משוואה ודמיון בטרפז. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: ז.ז עם ישר מקביל · קל
במשולש ABC: DE ∥ BC (D על AB , E על AC)
AD = 4 , DB = 6 , DE = 5. מצאו את BC
AD = 4 , DB = 6 , DE = 5. מצאו את BC
∢ADE = ∢ABC ← DE ∥ BC – זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
∢A = ∢A ← זווית משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ADE ∼ △ABC ← ז.ז
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
AB = 4 + 6 = 10 ← AB = AD + DB
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
AD : AB = DE : BC ← צלעות מתאימות באותו יחס
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
4 : 10 = 5 : BC ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
4 · BC = 50 ⟹ BC = 12.5 ← כפל בהצלבה ומחלקים ב־4
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
✅ פתרון סופי: BC = 12.5
🟢 תרגיל 2: צ.צ.צ · קל
AB = 4 , BC = 6 , AC = 8 , DE = 6 , EF = 9 , DF = 12 , ∢A = 47
הוכיחו ש־△ABC ∼ △DEF ומצאו את ∢D
הוכיחו ש־△ABC ∼ △DEF ומצאו את ∢D
AB : DE = 4 : 6 = 2 : 3 ← מצמצמים
BC : EF = 6 : 9 = 2 : 3 ← מצמצמים
AC : DF = 8 : 12 = 2 : 3 ← מצמצמים
△ABC ∼ △DEF ← צ.צ.צ: שלוש צלעות באותו יחס
📐 משפט דמיון: צ.צ.צ: שלוש צלעות באותו יחס ← המשולשים דומים
∢D = ∢A = 47 ← במשולשים דומים זוויות מתאימות שוות
📐 הגדרה: משולשים דומים: כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות באותו יחס k (יחס הדמיון)
✅ פתרון סופי: המשולשים דומים , ∢D = 47
🟣 תרגיל 3: צ.ז.צ · בינוני
D על AB , E על AC. AD = 3 , DB = 9 , AE = 4 , EC = 5 , DE = 5
הוכיחו ש־△ADE ∼ △ACB ומצאו את BC
הוכיחו ש־△ADE ∼ △ACB ומצאו את BC
AB = 3 + 9 = 12 , AC = 4 + 5 = 9 ← חיבור קטעים
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
AD : AC = 3 : 9 = 1 : 3 , AE : AB = 4 : 12 = 1 : 3 ← שני היחסים שווים
∢A = ∢A ← זווית משותפת – הזווית שבין הצלעות
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ADE ∼ △ACB ← צ.ז.צ
📐 משפט דמיון: צ.ז.צ: שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן שווה ← המשולשים דומים
DE : CB = 1 : 3 ← צלעות מתאימות באותו יחס
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
BC = 3 · 5 = 15 ← מציבים DE = 5
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: △ADE ∼ △ACB , BC = 15
🔷 תרגיל 4: משוואה · קל
△ABC ∼ △DEF. AB = 6 , BC = 8 , DE = 9 , EF = x + 5
מצאו את x ואת EF
מצאו את x ואת EF
AB : DE = BC : EF ← צלעות מתאימות באותו יחס
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
6 : 9 = 8 : (x + 5) ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
6(x + 5) = 72 ← כפל בהצלבה
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
x + 5 = 12 ⟹ x = 7 ← מחלקים ב־6 ומעבירים אגפים
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
EF = 7 + 5 = 12 ← מציבים x = 7
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 7 , EF = 12
🔵 תרגיל 5: מורכב: דמיון בטרפז
ABCD טרפז (AB ∥ DC), האלכסונים נחתכים ב־E
AB = 12 , DC = 8 , AC = 10. מצאו את AE ואת EC
AB = 12 , DC = 8 , AC = 10. מצאו את AE ואת EC
∢BAE = ∢DCE ← AB ∥ DC – זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢AEB = ∢CED ← זוויות קדקודיות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
△ABE ∼ △CDE ← ז.ז
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
AE : CE = AB : CD = 12 : 8 = 3 : 2 ← צלעות מתאימות באותו יחס
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
AE = 3k , EC = 2k ← כותבים יחס בעזרת k
📐 כלל: יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
3k + 2k = 10 ⟹ k = 2 ← AE + EC = AC
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
AE = 6 , EC = 4 ← מציבים k = 2
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: AE = 6 , EC = 4
💡 לזכור
ישר מקביל לצלע במשולש ← תמיד ז.ז (זווית משותפת + זוויות מתאימות).
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il