נושא השיעור חקירת פולינום

שלבי חקירה

1. מציאת תחום ההגדרה:

• כל המספרים הממשיים: פונקציות פולינומיות מוגדרות לכל ערך של x.

2. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים:

• עם ציר ה-y: הצב x=0 בפונקציה כדי למצוא את נקודת החיתוך.

• עם ציר ה-x: פתור את המשוואה f(x)=0. זה עשוי לדרוש פירוק לגורמים או שימוש בנוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות.

3. מציאת נקודות קיצון/פיתול:

• נגזרת ראשונה:

  • מצא את הנגזרת הראשונה כדי למצוא נקודות קיצון.

  • נשווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה.(נמצא את x)

  • מציאת ערך y של ה-x שמצאנו.

4. מציאת תחומי עליה וירידה:

נבדוק את סימן הנגזרת בכל אינטרוול כדי לקבוע תחומי עלייה וירידה.

5. שרטוט הגרף.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון עשינו חקירת פונקציה מלאה, והפעם בחיתוך עם ציר x השתמשנו בהצבה (משתנה עזר t). כאן הכל כתוב לפי הסדר 👇

📝 השאלה

שאלה: חקור את הפונקציה f(x) = x⁴ + 7x² + 10 על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה.

ב. נקודות חיתוך עם הצירים.

ג. נקודות קיצון.

ד. תחומי עלייה וירידה.

ה. סרטוט.

🟡 הסעיפים

סעיף א: תחום הגדרה.

פולינום, בלי שבר: אפשר להציב כל x.

תשובה: כל x

סעיף ב: נקודות חיתוך עם הצירים.

עם ציר y מציבים x = 0:

f(0) = 0⁴ + 7·0² + 10

= 10 ← (0 , 10)

עם ציר x מציבים y = 0:

0 = x⁴ + 7x² + 10

משתמשים בהצבה x² = t , ואז x⁴ = (x²)² = t²:

0 = t² + 7t + 10

(t + 5)(t + 2) = 0

t = −5 או t = −2

חוזרים ל־x:

x² = −5 או x² = −2

ריבוע של מספר לא יכול להיות שלילי ← אין פתרון.

תשובה: (0 , 10) , ואין חיתוך עם ציר x

סעיף ג: נקודות קיצון.

גוזרים ומשווים ל־0:

f'(x) = 4x³ + 14x = 0 ← מחלקים ב־4

x³ + 3.5x = 0

מוציאים x כגורם משותף:

x(x² + 3.5) = 0

x = 0 או x² = −3.5 ← אין פתרון

מציבים בפונקציה: f(0) = 10 ← (0 , 10)

מציבים בנגזרת מספר לפני 0 ומספר אחרי:

f'(−1) = 4·(−1)³

+ 14·(−1)

= −4 − 14 = −18 < 0

f'(1) = 4·1³ + 14·1

= 4 + 14 = 18 > 0

x	−1	0	1
f'(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

תשובה: (0 , 10) נקודת מינימום

סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.

לפי הטבלה מסעיף ג:

תשובה: עלייה: x > 0
ירידה: x < 0

סעיף ה: סרטוט.

הגרף יורד עד נקודת המינימום (0 , 10) ואז עולה. הוא לא חותך את ציר x, ולכן כולו מעל הציר:

💡 לזכור

כשיש רק חזקות זוגיות x⁴ , x² , מציבים x² = t ומקבלים משוואה ריבועית רגילה. ואל תשכחו לחזור בסוף מ־t ל־x!

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il