שיעור 53- תרגיל עם פונקציה מורכבת

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו שאלה מבגרות (2019, 841) עם פונקציה מורכבת: נקודת קיצון, חיתוך עם ציר x ומשוואת משיק. כאן כל סעיף בכרטיס משלו 👇

לפניך סרטוט של גרף הפונקציה f(x) = (x − 3)⁴ − 16 , המוגדרת לכל x.

סעיף א: מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)

גוזרים (נגזרת של פונקציה מורכבת, הנגזרת הפנימית היא 1) ומשווים ל־0:

f'(x) = 4(x − 3)³ · 1

4(x − 3)³ = 0 / :4

(x − 3)³ = 0

מוציאים שורש שלישי (שורש שלישי של 0 הוא 0):

x − 3 = 0

x = 3

מציבים בפונקציה המקורית:

f(3) = (3 − 3)⁴ − 16

= −16

בדיקה בנגזרת: x = 0 ← 4·(−3)³ = −108 < 0 יורדת

x = 4 ← 4·1³ = 4 > 0 עולה ← מינימום (כמו שרואים בסרטוט)

תשובה: (3 , −16) מינימום

סעיף ב: מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x

מציבים y = 0 :

0 = (x − 3)⁴ − 16

(x − 3)⁴ = 16

מוציאים שורש רביעי. השורש זוגי, ולכן יש שתי תשובות:

x − 3 = 2 ← x = 5

x − 3 = −2 ← x = 1

נקודות החיתוך: (1 , 0) , (5 , 0)

העבירו משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = 4 .
סעיף ג(1): מצא את משוואת המשיק

הנקודה: מציבים 4 בפונקציה המקורית:

f(4) = (4 − 3)⁴ − 16

= 1⁴ − 16 = −15

נקודת ההשקה: (4 , −15)

השיפוע שווה לנגזרת בנקודת ההשקה (את הנגזרת כבר מצאנו בסעיף א):

m = 4(4 − 3)³ = 4·1³ = 4

מציבים בנוסחה y − y₁ = m(x − x₁) :

y − (−15) = 4(x − 4)

y + 15 = 4x − 16

תשובה: y = 4x − 31

בשורש זוגי (שורש ריבועי, שורש רביעי) יש שתי תשובות: פלוס ומינוס. בשורש אי־זוגי (שורש שלישי) יש תשובה אחת בלבד.