מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 24 -2015 חורף
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו את שאלת ההסתברות מבגרות 2015 חורף (נעלמים + הסתברות מותנת): מוצאים נעלם, אחר כך הסתברות מותנת, ובסוף בחירת שקית והוצאה בלי החזרה – הכל בעזרת עץ 👇
2015 חורף: בשקית א׳ יש 7 מטפחות צהובות ו־5 מטפחות אדומות. בשקית ב׳ יש 10 מטפחות: חלקן צהובות והשאר אדומות. הוציאו באקראי מטפחת אחת משקית א׳ ומטפחת אחת משקית ב׳. ההסתברות ששתי המטפחות צהובות היא 740.
🟡 סעיף א: כמה מטפחות צהובות בשקית ב׳ – עץ ומשוואה עם נעלם
א. כמה מטפחות צהובות היו בשקית ב׳?
שקית א׳: סך הכל 7 + 5 = 12 מטפחות: צהובה 712 , אדומה 512
שקית ב׳: לא יודעים כמה צהובות, לכן מסמנים: צהובות – x , אדומות – 10 − x
צהובה x10 , אדומה 10−x10
מציירים עץ: קומה ראשונה – שקית א׳, קומה שנייה – שקית ב׳:
צ צהובה א אדומה
שתיהן צהובות ← הענף צ ← צ (גם וגם ← כופלים לאורך הענף):
712 · x10 = 740
7x120 = 740
מצמצמים את ה־7, ואז כפל בהצלבה:
40x = 120 · 1 / :40
x = 3
תשובה: x = 3 ← בשקית ב׳ היו 3 מטפחות צהובות
🔵 סעיף ב: הסתברות מותנת – ידוע שהמטפחות בצבעים שונים
ב. מחזירים כל מטפחת לשקית שממנה הוציאו אותה, ומוציאים באקראי מטפחת משקית א׳ ומטפחת משקית ב׳. ידוע כי המטפחות שהוצאו הן בצבעים שונים. מהי ההסתברות שהמטפחת שהוצאה משקית ב׳ היא צהובה?
מציבים x = 3 בעץ: בשקית ב׳ 3 צהובות ו־7 אדומות. מתחת לכל ענף – המכפלה לאורכו:
צ צהובה א אדומה
המילה ידוע ← הסתברות מותנת:
P = רצויסה״כ אפשרויות
מכנה – בצבעים שונים, שני הענפים הירוקים: צ ← א או א ← צ:
712 · 710 + 512 · 310
= 49120 + 15120 = 64120
מונה – מתוכם, מה שיצא משקית ב׳ צהוב ← הענף א ← צ:
512 · 310 = 15120
1512064120
= 1564
תשובה: 1564
🟢 סעיף ג: בחירת שקית והוצאת שתי מטפחות בלי החזרה – שתיהן אדומות
ג. מחזירים שוב כל מטפחת לשקית שממנה הוציאו אותה. בוחרים באקראי שקית, ומוציאים ממנה באקראי בלי החזרה שתי מטפחות. מהי ההסתברות ששתי המטפחות הן אדומות?
עץ בשלוש קומות: בחירת שקית (12 לכל שקית) ← מטפחת ראשונה ← מטפחת שנייה.
בלי החזרה ← בקומה השלישית יורד 1 מהצבע שיצא וגם מהסה״כ (שקית א׳: מתוך 11, שקית ב׳: מתוך 9).
צ צהובה א אדומה
שתיהן אדומות ← שני הענפים האדומים:
שקית א׳: 12 · 512 · 411 = 566
שקית ב׳: 12 · 710 · 69 = 730
שקית א׳ או שקית ב׳ ← חיבור:
566 + 730
= 1755
תשובה: 1755
💡 לזכור
בעץ: לאורך ענף ← כפל ("גם"), בין ענפים ← חיבור ("או"), "ידוע" ← מה שידוע במכנה. בלי החזרה ← אחרי כל הוצאה יורד 1 גם מהצבע וגם מהסה״כ.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il