מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 22 – פתרון בגרות 2020 מועד ב-חקירת שורש (לא לינארי עם חזקה בשורש)
לעמוד הקורס⇐
פתרון בגרות 2020 מועד ב-חקירת שורש 4 יחידות
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו את שאלת חקירת פונקציית השורש מבגרות 481 קיץ 2020 (מועד ב): תחום הגדרה, חיתוך עם ציר y, נקודות קיצון עם נגזרת של מכפלה, סקיצה, ערכי k, ושיקוף −f(x) 👇
📝 השאלה: בגרות 481 קיץ 2020 מועד ב, f(x) = −2x√−x² + 8
נתונה הפונקציה f(x) = −2x · √−x² + 8
א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?
(2) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y.
(3) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.
ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ג. עבור אילו ערכי k הישר y = k חותך את גרף הפונקציה f(x) בדיוק בשתי נקודות?
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה −f(x).
🟡 סעיף א(1): תחום הגדרה של −2x√−x² + 8
סעיף א(1): מהו תחום ההגדרה של f(x)?
מה שבתוך השורש צריך להיות גדול שווה 0:
−x² + 8 ≥ 0
משווים ל־0:
−x² + 8 = 0
8 = x²
x = ±√8 = ±2√2 (בערך ±2.82)
המקדם של x² שלילי ← פרבולה "בוכה". היא מעל ציר x ועליו בין שני הפתרונות:
תשובה: ת"ה: −2√2 ≤ x ≤ 2√2
🔵 סעיף א(2): נקודת החיתוך עם ציר y
סעיף א(2): מצא את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־y.
מציבים x = 0:
f(0) = −2·0·√−0² + 8 = 0
תשובה: (0 , 0)
🟢 סעיף א(3): נקודות קיצון בנגזרת של מכפלה עם שורש
סעיף א(3): מצא את נקודות הקיצון של f(x) וקבע את סוגן.
יש כאן מכפלה: f = −2x , g = √−x² + 8
נגזרת של מכפלה: (f·g)' = f'·g + g'·f
נגזרת של שורש: √f(x)' = f'(x)2√f(x)
גוזרים ומשווים ל־0:
y' = −2·√−x² + 8 +
−2x2√−x² + 8 · (−2x) = 0 ← מחלקים ב־(−2)
√−x² + 8 − 2x²2√−x² + 8 = 0
מעבירים אגף ומצמצמים ב־2:
√−x² + 81 = x²√−x² + 8
כפל בהצלבה (שורש כפול שורש = מה שבתוכו):
−x² + 8 = x²
8 = 2x² ← מחלקים ב־2
4 = x²
x = ±2
מציבים בנגזרת (לפני החילוק במספר השלילי):
y' = −2√−x² + 8 + 2x²√−x² + 8
f'(−2.5) = −2√−(−2.5)² + 8 +
2·2.5²√−(−2.5)² + 8 > 0
f'(0) = −2√−0 + 8 + 0 < 0
f'(2.5) = −2√−(2.5)² + 8 +
2·2.5²√−(2.5)² + 8 > 0
| x | −2√2 | −2.5 | −2 | 0 | 2 | 2.5 | 2√2 |
| f' | + | − | + | ||||
| f | ↗ | ↘ | ↗ |
מציבים בפונקציה המקורית:
f(2) = −2·2·√−2² + 8 = −8
f(−2) = −2·(−2)·√−(−2)² + 8
= 8
גם הקצוות הם נקודות קיצון (f = 0 בקצוות): אחרי −2√2 הפונקציה עולה ← min, לפני 2√2 הפונקציה עולה ← max.
תשובה: max(−2 , 8)
min(2 , −8)
min(−2√2 , 0)
max(2√2 , 0)
min(2 , −8)
min(−2√2 , 0)
max(2√2 , 0)
🟣 סעיף ב: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
סעיף ב: סרטט סקיצה של גרף f(x).
הגרף רק בתוך ת"ה: בין −2√2 ל־2√2.
מתחיל ב־(−2√2 , 0), עולה ל־(−2 , 8), יורד דרך (0 , 0) עד (2 , −8), ועולה שוב עד (2√2 , 0).
תשובה: גבעה למעלה משמאל ושקע למטה מימין, דרך (0 , 0)
🟡 סעיף ג: ערכי k שבהם y = k חותך בדיוק בשתי נקודות
סעיף ג: עבור אילו ערכי k הישר y = k חותך את הגרף בדיוק בשתי נקודות?
y = k הוא קו ישר מקביל לציר x.
קו בין 0 ל־8 חותך את הגבעה פעמיים. קו בין −8 ל־0 חותך את השקע פעמיים.
על ציר x (k = 0) יש 3 חיתוכים, וב־k = 8 או k = −8 רק חיתוך אחד, לכן הם לא נכללים.
תשובה: 0 < k < 8
−8 < k < 0
−8 < k < 0
🔵 סעיף ד: סקיצה של −f(x) (שיקוף בציר x)
סעיף ד: סרטט סקיצה של גרף −f(x).
−f(x): כל ערכי ה־y מוכפלים ב־(−1) ← שיקוף של f(x) ביחס לציר x.
(−2 , 8) → (−2 , −8)
(2 , −8) → (2 , 8)
הקצוות ו־(0 , 0) נשארים במקום.
תשובה: שקע למטה ב־(−2 , −8) וגבעה למעלה ב־(2 , 8)
💡 לזכור
בנגזרת של מכפלה: (f·g)' = f'·g + g'·f. מציבים בנגזרת לפני שמחלקים במספר שלילי (אחרת הסימנים מתהפכים), ולא לשכוח שהקצוות הם גם נקודות קיצון.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il