מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 4: סכום זוויות במשולש וזווית חיצונית
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 2 · משולשים · שיעור 4
📄 דף הסבר: סכום זוויות במשולש וזווית חיצונית
סכום הזוויות במשולש, זווית חיצונית וסכום הזוויות במצולע – עם הוכחות
סכום הזוויות במשולש
מעבירים דרך A ישר DE ∥ BC ← קו עזר
📐 כלל: קו עזר: דרך נקודה מותר להעביר ישר המקביל לישר נתון
∢DAB = ∢B ← זוויות מתחלפות בין המקבילים DE ∥ BC
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢EAC = ∢C ← זוויות מתחלפות בין המקבילים DE ∥ BC
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢DAB + ∢BAC + ∢EAC = 180 ← שלוש הזוויות יוצרות יחד את הישר DE (זווית שטוחה)
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
∢B + ∢BAC + ∢C = 180 ← מציבים את שתי השורות הראשונות
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
זווית חיצונית למשולש
מאריכים את BC עד D. הזווית ∢ACD היא זווית חיצונית למשולש
∢ACB + ∢ACD = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
∢A + ∢B + ∢ACB = 180 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢ACD = ∢A + ∢B ← בשני הסכומים יש ∢ACB, והסכום 180. לכן מה שנשאר שווה
📐 📐 משפט: זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה
סכום הזוויות במצולע
מקדקוד A מעבירים את כל האלכסונים ← קו עזר
המחומש מתחלק ל־3 משולשים ← במצולע עם n צלעות: n − 2 משולשים
סכום הזוויות: 3 · 180 = 540 ← בכל משולש 180 מעלות
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 📐 משפט: סכום הזוויות במצולע קמור עם n צלעות הוא (n − 2) · 180
משולש: ∢A + ∢B + ∢C = 180 · זווית חיצונית = סכום שתי הזוויות הרחוקות · מצולע: (n − 2) · 180 ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים מהקל לקשה: אחד עם יחס, אחד עם משוואה, אחד מורכב שמשלב מקבילים ומשולש, ואחד על מצולע. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: סכום זוויות · קל
במשולש ABC נתון: ∢A = 50 , ∢B = 70
מצאו את ∢C
מצאו את ∢C
∢A = 50 , ∢B = 70 ← נתון
∢A + ∢B + ∢C = 180 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
50 + 70 + ∢C = 180 ← מציבים את הנתונים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
120 + ∢C = 180 ← מחברים: 50 + 70 = 120
∢C = 180 − 120 = 60 ← מעבירים את 120 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
✅ פתרון סופי: ∢C = 60 מעלות
🟢 תרגיל 2: סכום זוויות עם יחס · בינוני
במשולש ABC היחס בין הזוויות הוא ∢A : ∢B : ∢C = 2 : 3 : 4
מצאו את זוויות המשולש
מצאו את זוויות המשולש
∢A : ∢B : ∢C = 2 : 3 : 4 ← נתון
∢A = 2k , ∢B = 3k , ∢C = 4k ← כותבים יחס בעזרת k
📐 כלל: יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
2k + 3k + 4k = 180 ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
9k = 180 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
k = 180 : 9 = 20 ← מחלקים את שני האגפים ב־9
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢A = 2 · 20 = 40 ← מציבים k = 20
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢B = 3 · 20 = 60 ← מציבים k = 20
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢C = 4 · 20 = 80 ← מציבים k = 20
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
בדיקה: 40 + 60 + 80 = 180 ✔ ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: ∢A = 40 , ∢B = 60 , ∢C = 80
🟣 תרגיל 3: זווית חיצונית ומשוואה · בינוני
D על המשך הצלע BC. נתון: ∢ACD = 130 , ∢A = 2x , ∢B = x + 10
מצאו את x ואת זוויות המשולש
מצאו את x ואת זוויות המשולש
∢ACD = 130 , ∢A = 2x , ∢B = x + 10 ← נתון
∢ACD = ∢A + ∢B ← זווית חיצונית למשולש
📐 משפט: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה ∢ACD = ∢A + ∢B
130 = 2x + x + 10 ← מציבים את הנתונים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
130 = 3x + 10 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
130 − 10 = 3x ⟹ 120 = 3x ← מעבירים את 10 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 120 : 3 = 40 ← מחלקים את שני האגפים ב־3
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢A = 2 · 40 = 80 ← מציבים x = 40
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢B = 40 + 10 = 50 ← מציבים x = 40
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢ACB = 180 − 130 = 50 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
בדיקה: 80 + 50 + 50 = 180 ✔ ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
✅ פתרון סופי: x = 40 , ∢A = 80 , ∢B = 50 , ∢ACB = 50
🔷 תרגיל 4: מורכב: מקבילים + משולש
D על המשך BC, והקרן CE מקבילה לצלע BA
נתון: ∢A = 55 , ∢B = 65. מצאו את ∢ACE , ∢ECD ואת ∢ACB
נתון: ∢A = 55 , ∢B = 65. מצאו את ∢ACE , ∢ECD ואת ∢ACB
CE ∥ BA , ∢A = 55 , ∢B = 65 ← נתון
∢ACE ו־∢A זוויות מתחלפות ← בין BA ל־CE, משני צדי החותך AC
∢ACE = ∢A = 55 ← בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢ECD ו־∢B זוויות מתאימות ← החותך הוא הישר BD
∢ECD = ∢B = 65 ← בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
∢ACD = 55 + 65 = 120 ← הקרן CE בתוך הזווית ∢ACD
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
∢ACB = 180 − 120 = 60 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
בדיקה: 55 + 65 + 60 = 180 ✔ ← סכום הזוויות במשולש
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
💡 קיבלנו ∢ACD = ∢A + ∢B: זו עוד הוכחה למשפט הזווית החיצונית
📐 משפט: זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה ∢ACD = ∢A + ∢B
✅ פתרון סופי: ∢ACE = 55 , ∢ECD = 65 , ∢ACB = 60
🔵 תרגיל 5: מצולע משוכלל · בינוני
ABCDEF משושה משוכלל (6 צלעות שוות ו־6 זוויות שוות)
מצאו את סכום הזוויות ואת גודל כל זווית
מצאו את סכום הזוויות ואת גודל כל זווית
משושה: n = 6, משוכלל ← נתון
📐 הגדרה: מצולע משוכלל: כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות
מקדקוד A יוצאים 3 אלכסונים: 4 משולשים ← n − 2 = 6 − 2 = 4
סכום הזוויות: (6 − 2) · 180 ← סכום הזוויות במצולע
📐 משפט: סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור עם n צלעות (n − 2) · 180
= 4 · 180 = 720 ← חישוב
כל זווית: 720 : 6 = 120 ← במצולע משוכלל כל הזוויות שוות, מחלקים ב־6
📐 הגדרה: מצולע משוכלל: כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות
✅ פתרון סופי: סכום הזוויות 720 מעלות, כל זווית 120 מעלות
💡 לזכור
כשמשתמשים במשפט כותבים אותו כנימוק. סכום 180 – לזוויות פנימיות. זווית חיצונית – לזווית שמחוץ למשולש.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il