שיעור 34- הזזה לפונקצית 1 חלקי f(x)

כללי הזזה 1 חלקי f

נושא השיעור הזזה ל1 חלקי f(x)

השלכות-

שינוי בתחומי עלייה וירידה

• היפוך: באופן כללי, תחומי העלייה של f(x) יהפכו לתחומי הירידה של 1/f(x) ולהיפך.

• נקודות קיצון: נקודות מקסימום של f(x) יהפכו לנקודות מינימום של 1/f(x) ולהיפך..

שינוי בנקודות קיצון

• היפוך: כפי שציינו קודם, נקודות קיצון מתחלפות. מקסימום הופך למינימום ולהיפך.

• ערכים: ערכי הקיצון (ערך ה-y) של  1 חלקי f(x) יהיו ההופכים של ערכי הקיצון של f(x)'ערכי ה-x לא משתנים.

• מיקום: מיקום נקודות הקיצון לא ישתנה, אך הערך של הפונקציה בנקודות אלו ישתנה.

אסימפטוטות

• אסימפטוטות אנכיות: בכל נקודה שבה f(x) מתאפס,ב- 1 חלקי f(x)  תהיה אסימפטוטה אנכית.

• אסימפטוטות אופקיות: אם f(x) שואפת לאפס כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, אז 1 חלקי f(x) תשאף לאינסוף או למינוס אינסוף, ונוצרת אסימפטוטה אופקית ב-y=0.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון שרטטנו את 1f(x) מתוך הגרף של f(x) , והוכחנו בעזרת הנגזרת למה נקודות הקיצון מתהפכות. כאן הכללים והשלבים 👇

🟣 כללי ההזזה: מ־f(x) ל־1f(x)

סימן חיובי f(x) > 0 ← נשאר חיובי 1f(x) > 0

סימן שלילי f(x) < 0 ← נשאר שלילי 1f(x) < 0

f(x) = 0 ← אסור לחלק באפס ← אסימפטוטה אנכית

מקסימום של f ← הופך למינימום של 1f

מינימום של f ← הופך למקסימום של 1f

f עולה ← 1f יורדת

f יורדת ← 1f עולה

f(x) = 1 או f(x) = −1 ← הנקודה נשארת במקום (11 = 1)

🟡 מה פיתחנו בסרטון

שלב 1: תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

במנה אסור שהמכנה יהיה 0:

f(x) ≠ 0

בנקודות שבהן f(x) = 0 (נקודות החיתוך של f עם ציר ה־x) יש ל־1f(x) אסימפטוטה אנכית.

שלב 2: למה נקודות הקיצון באותו x? גוזרים את 1f(x) לפי כלל המנה

(1f(x))' =

0·f(x) − f'(x)·1(f(x))²

= −f'(x)(f(x))²

משווים ל־0. שבר שווה 0 כשהמונה שווה 0:

−f'(x) = 0

f'(x) = 0

מסקנה: הנגזרת של 1f(x) מתאפסת בדיוק באותם x שבהם מתאפסת f'(x)

שלב 3: סוג הנקודה מתהפך

בנגזרת יש מינוס לפני f'(x) , והמכנה (f(x))² תמיד חיובי.

לכן הסימן של הנגזרת של 1f(x) הפוך לסימן של f'(x) :

ב־f: לפני 3 יורדת ↘ , אחרי 3 עולה ↗ ← מינימום

ב־1f : לפני 3 עולה ↗ , אחרי 3 יורדת ↘ ← מקסימום

מסקנה: נקודות הקיצון באותו x, סוג הנקודה מתהפך, ותחומי העלייה והירידה מתהפכים

שלב 4: הדוגמה מהגרף ל־f יש נקודת מינימום ב־x = 3 , שבה f(3) = −11

ה־x נשאר 3, וה־y הופך ל־1 חלקי:

1−11 = −111

המינימום של f הופך למקסימום של 1f

תשובה: נקודת מקסימום (3 , −111)

שלב 5: אסימפטוטה אופקית

מציבים ∞ בפונקציה: limx→∞

1∞ = 0

בצד שמאל מציבים −∞ :

1−∞ = 0

תשובה: אסימפטוטה אופקית y = 0

💡 לזכור

ב־1f(x) : החיתוך של f עם ציר ה־x הופך לאסימפטוטה אנכית, נקודות הקיצון נשארות באותו x אבל סוגן מתהפך, והסימן (חיובי / שלילי) לא משתנה.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il