מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 23 – פתרון בגרות 2021 חורף מאוחר-חקירת שורש ( לינארי ללא חזקה בשורש)
לעמוד הקורס⇐
פתרון בגרות 2021 חורף מאוחר-חקירת שורש
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו את שאלת חקירת פונקציית השורש עם פרמטר מבגרות 481 חורף מאוחר 2021: תחום הגדרה, חיתוך עם ציר x (עם בדיקה), נקודות קיצון באמצעות a, סקיצה, ומציאת a מפונקציה g(x) שמשיקה לציר x 👇
📝 השאלה: בגרות 481 חורף מאוחר 2021, f(x) = ax√12 − x
נתונה הפונקציה f(x) = ax · √12 − x , a > 0 , a הוא פרמטר.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
ג. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן (אם צריך, הבע באמצעות a).
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
הפונקציה g(x) = f(x) − 32 משיקה לציר ה־x.
ה. (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
(2) מצא את a.
🟡 סעיף א: תחום הגדרה של ax√12 − x
סעיף א: מצא את תחום ההגדרה של f(x).
מה שבתוך השורש צריך להיות גדול שווה 0:
12 − x ≥ 0
מעבירים אגפים:
תשובה: ת"ה: x ≤ 12
🔵 סעיף ב: נקודות החיתוך עם ציר x
סעיף ב: מצא את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה־x.
עם ציר x מציבים y = 0:
0 = ax · √12 − x
מכפלה שווה 0 ← אחד הגורמים שווה 0:
ax = 0 ← מחלקים ב־a
x = 0 ← (0 , 0)
או
√12 − x = 0 ← מעלים בריבוע
12 − x = 0
12 = x ← (12 , 0)
בדיקה (כי העלינו בריבוע): √12 − 12 = 0 ✓
תשובה: (0 , 0) , (12 , 0)
🟢 סעיף ג: נקודות הקיצון עם פרמטר a (נגזרת של מכפלה)
סעיף ג: מצא את כל נקודות הקיצון וקבע את סוגן (הבע באמצעות a).
מכפלה: f = ax , g = √12 − x ← (f·g)' = f'·g + g'·f
נגזרת של שורש: √f(x)' = f'(x)2√f(x)
גוזרים ומשווים ל־0:
f'(x) = a·√12 − x +
−12√12 − x · ax = 0
מעבירים אגף:
a√12 − x1 = ax2√12 − x
כפל בהצלבה (שורש כפול שורש = מה שבתוכו), ומצמצמים ב־a:
2a(12 − x) = ax
2(12 − x) = x
24 − 2x = x
24 = 3x
x = 8
מציבים בפונקציה:
f(8) = a·8·√12 − 8
= 8a·2 = 16a ← (8 , 16a)
סוג הנקודה: מציבים בנגזרת (לפני שהעברנו אגפים). זוכרים ש־a > 0, ואסור להציב מעל 12:
f'(x) = a√12 − x − ax2√12 − x
f'(0) = a√12 − 0 − a·02√12 − 0
= √12·a > 0 עולה
f'(9) = a√12 − 9 − 9a2√12 − 9
= √3·a − 9a2√3
≈ 1.73a − 2.59a < 0 יורדת
| x | 0 | 8 | 9 | 12 |
| f' | + | 0 | − | |
| f | ↗ | max | ↘ | min |
נקודת קצה: x = 12 (ה־y כבר נמצא בסעיף ב). לפני 12 הפונקציה יורדת אליה ← מינימום.
תשובה: max(8 , 16a)
min(12 , 0) (קיצון קצה)
min(12 , 0) (קיצון קצה)
🟣 סעיף ד: סקיצה של גרף f(x) = ax√12 − x
סעיף ד: סרטט סקיצה של גרף f(x).
נקודות: חיתוך (0 , 0) , מקסימום (8 , 16a) , קצה (12 , 0).
עולה מלמטה דרך (0 , 0) עד המקסימום, ויורד עד (12 , 0). לא עוברים את 12 (תחום ההגדרה).
תשובה: עולה עד (8 , 16a) ונעצר ב־(12 , 0)
🟡 סעיף ה: g(x) = f(x) − 32 משיקה לציר x, מציאת a
סעיף ה: (1) סרטט סקיצה של g(x). (2) מצא את a.
g(x) = f(x) − 32: אותו גרף, מוזז 32 למטה.
משיקה לציר x = נוגעת בו בנקודה אחת, וזה חייב להיות בנקודת המקסימום: המקסימום יורד בדיוק עד ציר x.
(1) הסקיצה: אותה צורה, והמקסימום נוגע בציר x ב־x = 8.
(2) המקסימום 16a ירד ב־32 ל־0:
16a = 32
תשובה: a = 2
💡 לזכור
כשיש פרמטר חיובי (a > 0), הוא לא משנה את סימן הנגזרת, אז מחליטים לפי המספרים. ו"משיקה לציר x" אחרי הזזה = נקודת הקיצון יושבת בדיוק על ציר x.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il