שיעור 8 -משוואות עם שורשים- 3

נושא השיעור-פתרון משוואות עם שורשים

משוואות עם שורשים, הנקראות גם משוואות אי-רציונליות, הן משוואות בהן המשתנה מופיע בתוך שורש. 

שלבים לפתרון משוואה עם שורש:

1. בידוד השורש: אם יש יותר משורש אחד, יש לבודד את אחד מהם באחד האגפים.

2. העלאה בריבוע: העלאה בריבוע של שני אגפי המשוואה מבטלת את השורש.

3. פתרון המשוואה: לאחר ההעלאה בריבוע, פותרים את המשוואה המתקבלת.

4. בדיקה: חשוב לבדוק את הפתרונות שהתקבלו במשוואה המקורית, שכן העלאה בריבוע עלולה להוסיף פתרונות זרים, (במקרה ששני האגפים חיוביים אין צורך לבצע בדיקה).

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו משוואה עם שורש שבאגף השני יש ביטוי עם x , ולכן מעלים בריבוע את כל האגף בעזרת כפל מקוצר, ובסוף חובה לעשות בדיקה 👇

🟡 תרגיל 4: פתרון המשוואה √2x + 7 = x − 4

פתרו את המשוואה √2x + 7 = x − 4

רוצים להיפטר מהשורש, לכן מעלים בריבוע את שני האגפים. באגף שמאל הריבוע מבטל את השורש:

2x + 7 = (x − 4)²

⚠️ טעות נפוצה: לכתוב x² − 16 . זה לא נכון! כל האגף עולה בריבוע:

(x − 4)² = (x − 4)(x − 4)

(הראשון כפול הראשון, הראשון כפול השני, השני כפול הראשון, השני כפול השני, או לפי נוסחת הכפל המקוצר)

2x + 7 = x² − 8x + 16

מעבירים את 2x ואת 7 לצד ימין:

0 = x² − 10x + 9

פותרים את המשוואה הריבועית (נוסחת השורשים או מחשבון):

x = 9 או x = 1

בדיקה (חובה, כי לא יודעים אם x − 4 חיובי או שלילי):

עבור x = 1 :

√2·1 + 7 = 1 − 4

3 = −3 ✗ פסוק שקר, הפתרון נופל

עבור x = 9 :

√2·9 + 7 = 9 − 4

5 = 5 ✓

תשובה: x = 9

💡 לזכור

כשמעלים בריבוע אגף כמו x − 4 , כל האגף עולה בריבוע: (x − 4)² = x² − 8x + 16 , ולא x² − 16 . וכשאגף אחד יכול להיות שלילי, חובה בדיקה.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il