שיעור 17-נקודות פיתול

נושא השיעור-נקודות פיתול

בסרטון ראינו שלא כל נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא נקודת קיצון: לפעמים זו נקודת פיתול. כאן התרגיל כתוב שלב אחרי שלב 👇

קיצון או פיתול?

מציבים בנגזרת מספר לפני הנקודה החשודה ומספר אחרי:

הסימן מתחלף (עולה ואז יורדת, או יורדת ואז עולה) ← נקודת קיצון

הסימן לא מתחלף (עולה ואז שוב עולה ↗↗) ← נקודת פיתול, ולא נקודת קיצון

שאלה: נתונה הפונקציה y = x³.

א. הראה שאין לפונקציה נקודות קיצון, אלא נקודת פיתול.

ב. מצא תחומי עלייה וירידה.

סעיף א: הראה שאין לפונקציה נקודות קיצון, אלא נקודת פיתול.

גוזרים ומשווים ל־0:

y' = 3x² = 0 ← מחלקים ב־3

x² = 0

x = 0 ← חשודה לקיצון

מציבים בפונקציה: y = 0³ = 0 ← הנקודה (0 , 0)

מציבים בנגזרת מספר לפני 0 ומספר אחרי:

y'(−1) = 3·(−1)² = 3 > 0

y'(1) = 3·1² = 3 > 0

הפונקציה עולה גם לפני וגם אחרי x = 0 , הסימן לא מתחלף, ולכן זו לא נקודת קיצון.

תשובה: (0 , 0) נקודת פיתול, ואין לפונקציה נקודות קיצון

סעיף ב: מצא תחומי עלייה וירידה.

לפי הטבלה, הנגזרת חיובית משני הצדדים של 0, כי 3x² אף פעם לא שלילי.

תשובה: עלייה: לכל x
ירידה: אין

נקודה שבה y' = 0 היא רק חשודה לקיצון. רק אחרי הבדיקה בטבלה יודעים אם זו נקודת מינימום, מקסימום, או נקודת פיתול.