מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 11 -פתרון בגרות 2020 מועד ב שאלון 481 4 יחידות-בעיית קיצון עם גרפים
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2020 מועד ב (שאלון 481) נקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) = 4x² , ומורידים ממנה אנכים לציר ה־y ולישר y = −1 . מבטאים את שטח המלבן באמצעות t , גוזרים (נגזרת של מנה) ומוצאים מינימום.
🟢 סעיף א: שיעורי הנקודה A שעבורה שטח המלבן מינימלי
לפניך גרף הפונקציה f(x) = 4x² , המוגדרת לכל x > 0 . הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) ברביע הראשון. מן הנקודה A הורידו אנכים לציר ה־y ולישר y = −1 כך שנוצר מלבן עם ציר ה־y ועם הישר y = −1 , כמתואר בציור.
א. מה הם שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המלבן הוא מינימלי? נמק.
א. מה הם שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המלבן הוא מינימלי? נמק.
שלבי הפתרון של בעיית קיצון:
① מבטאים את פונקציית המטרה על ידי נעלם 1
② גוזרים, משווים ל־0 ומוצאים את הנעלם
③ min או max
פונקציית המטרה היא שטח המלבן. מסמנים את ה־x של A ב־t ומציבים בפונקציה:
A(t , 4t²)
שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב (O ו־B הם הקודקודים שעל ציר ה־y):
S = AO · OB
AO = t (ה־x של A)
מראשית הצירים עד O המרחק הוא 4t² , ומראשית הצירים עד B (על הישר y = −1) המרחק הוא 1:
OB = 1 + 4t²
S = t1 · (1 + 4t²)
= t + 4tt² = t + 4t
גוזרים. את 4t גוזרים לפי נגזרת של מנה:
y = fg → y' = f'·g − g'·fg²
y' = 0·t − 1·4t² = −4t²
אפשר גם לזכור בעל פה:
(1x)' = −1x² , (ax)' = −ax²
משווים ל־0:
S' = 1 − 4t² = 0
11 = 4t²
כפל בהצלבה:
4 = t²
t = 2 או t = −2 – A ברביע הראשון, לכן t = −2 לא מתאים.
t = 2
A(2 , 42²) = (2 , 1)
מוכיחים שזה מינימום – מציבים בנגזרת נקודה לפני 2 ונקודה אחרי 2:
S'(1) = 1 − 41² = −3 < 0
S'(3) = 1 − 43² = 1 − 49
= 59 > 0
| x | x=1 | 2 | x=3 |
|---|---|---|---|
| f' | − | + | |
| f | ↘ | ↗ |
הפונקציה יורדת ואז עולה, לכן ב־t = 2 השטח מינימלי.
תשובה: A(2 , 1)
🔷 סעיף ב: האם קיים מלבן ששטחו 3
ב. האם קיימת נקודה A שבעבורה שטח המלבן הוא 3? נמק.
מציבים את t = 2 (שטח מינימלי מסעיף א) בפונקציית השטח:
S = t + 4t
S = 2 + 42 = 2 + 2 = 4
4 > 3
השטח הקטן ביותר שיכול להתקבל הוא 4, ולכן אין מלבן ששטחו 3.
תשובה: לא קיימת
💡 לזכור
כשהמלבן נמשך מתחת לציר ה־x עד ישר כמו y = −1 , הצלע האנכית היא f(t) + 1 . והשטח הקטן ביותר שמצאנו עונה גם על השאלה אם שטח מסוים יכול להתקבל.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il