שיעור 3-פתרון בגרות 832 2018 מועד א(3 יחידות)-בעיית קיצון גאומטרית

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו שאלת בעיית קיצון גאומטרית מבגרות 3 יחידות, קיץ 2018: מלבן ששטחו 25, מאריכים שתי צלעות ב־2, ומוצאים את אורך הצלע AB שעבורו היקף המלבן החדש מינימלי.

🔵 סעיף א: הבעת אורך הצלע AD באמצעות x

ABCD הוא מלבן ששטחו 25. נסמן את אורך הצלע AB ב־x.
א. הבע באמצעות x את אורך הצלע AD.
האריכו כל אחת מן הצלעות AB ו־DC ב־2, כך שהתקבל מלבן חדש – ALKD, כמתואר בציור.

שטח מלבן = אורך כפול רוחב:

AB · AD = 25

x · AD = 25 /:x

AD = 25x

תשובה: AD = 25x

🟢 סעיף ב(1): הבעת היקף המלבן ALKD באמצעות x

הבע באמצעות x את היקף המלבן ALKD.

הוסיפו 2 לכל צלע: AL = DK = x + 2 , וגם KL = AD = 25x

P = 2·AD + 2·DK

P = 21·25x + 2·(x + 2)

P = 50x + 2x + 4

תשובה: P = 50x + 2x + 4

🟣 סעיף ב(2): מציאת אורך הצלע AB שעבורו היקף המלבן ALKD מינימלי

מצא את אורך הצלע AB שבעבורה היקף המלבן ALKD הוא מינימלי.

נזכור: (1x)' = −1x² ולכן 50x → −50x²

נגזור ונשווה ל־0:

P' = −50x² + 2 = 0

21 = 50x² (כפל בהצלבה)

2x² = 50 /:2

x² = 25

x = √25

x = 5 (את x = −5 פוסלים – x הוא אורך הצלע AB)

מוכיחים מינימום – מציבים בנגזרת x = 1 ו־x = 6 (את x = 0 אסור להציב):

P'(1) = −501² + 2 = −48 < 0

P'(6) = −506² + 2 ≈ 0.61 > 0

P	↘	min	↗
P'	−	0	+
x	x=1	5	x=6

ירידה ואחריה עלייה סביב 5 ← נקודת מינימום.

תשובה: AB = x = 5

💡 לזכור

כשיש x במכנה: את x = 0 אסור להציב בנגזרת, ופתרון שלילי של אורך פוסלים.

לעמוד הקורס⇐

פתרון בגרות 832 2018 מועד א(3 יחידות)

מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים