שיעור 37- קשר בין הפונקציה לנגזרת 2

נושא השיעור-נלמד בשיעור על הקשר בין הפונקציה לנגזרת

הקשר הגרפי

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה מאפשר לנו "לקרוא" את התנהגות הפונקציה על סמך גרף הנגזרת.

• נגזרת חיובית: כאשר הנגזרת חיובית, הפונקציה המקורית עולה.

• נגזרת שלילית: כאשר הנגזרת שלילית, הפונקציה המקורית יורדת.

• נגזרת מתאפסת: כאשר הנגזרת מתאפסת, הפונקציה המקורית מגיעה לנקודת קיצון (מקסימום או מינימום).

• נגזרת משנה סימן: כאשר הנגזרת משנה סימן מחיובי לשלילי או להיפך, הפונקציה המקורית עוברת מנקודת קיצון.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון קראנו שני גרפים של נגזרות, וקבענו מהם כמה נקודות קיצון יש לכל פונקציה ומה הסוג שלהן. כאן הפתרון המלא 👇

🟣 תזכורת: הכללים

1. נקודות הקיצון של f(x) הן נקודות האפס של f'(x) (חיתוך עם ציר ה־x)

2. תחומי הירידה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת שלילית (f'(x) < 0) ← גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x

3. תחומי העלייה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת חיובית (f'(x) > 0) ← גרף הנגזרת מעל ציר ה־x

🟡 התרגיל מהסרטון

לפניך הגרפים של הפונקציות g'(x) ו־h'(x) , שהן פונקציות הנגזרת של הפונקציות g(x) ו־h(x) בהתאמה. פונקציות הנגזרת מוגדרות בתחום x < 2.5 .
קבע על פי הגרפים כמה נקודות קיצון פנימיות יש לפונקציות g(x) ו־h(x) בתחום x < 2.5 . נמק את תשובתך.

גרף I: g'(x)

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x פעמיים: ב־x = 0 ובנקודה נוספת, לפני 2.5.

ב־x = 0 : לפני הנקודה הגרף מתחת לציר (שלילי, g יורדת ↘), ואחריה מעל לציר (חיובי, g עולה ↗) ← מינימום

בנקודת החיתוך השנייה: לפני הנקודה הגרף מעל לציר (g עולה ↗), ואחריה מתחת לציר (g יורדת ↘) ← מקסימום

תשובה: ל־g(x) יש 2 נקודות קיצון: מינימום ב־x = 0 , ומקסימום בנקודת החיתוך השנייה

גרף II: h'(x)

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x פעם אחת בלבד.

לפני נקודת החיתוך הגרף מעל לציר (חיובי, h עולה ↗), ואחריה מתחת לציר (שלילי, h יורדת ↘) ← מקסימום

תשובה: ל־h(x) יש נקודת קיצון אחת, מקסימום

💡 לזכור

כל נקודה שבה גרף הנגזרת חוצה את ציר ה־x (עובר מצד לצד) היא נקודת קיצון של הפונקציה. מ־+ ל־− ← מקסימום, מ־− ל־+ ← מינימום.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il