שיעור 9 – תרגילים נוספים: משוואות בשני נעלמים (ללא סרטון)

טכניקה אלגברית · משוואות בשני נעלמים · שיעור 9 · ללא סרטון

📝 תרגילים נוספים – משוואות בשני נעלמים

שיטת ההצבה, שיטת השוואת מקדמים, שברים ובעיה מילולית

📌 תרגילים ללא סרטון: קודם כל התרגילים, ואחריהם פתרון מלא לכל תרגיל

איך מתרגלים?

מעתיקים את התרגילים למחברת ופותרים לבד.
רק אחר כך יורדים לפתרונות המלאים ומשווים.
יצא משהו אחר? מחפשים את השלב הראשון שבו הפתרון שלכם שונה.

✏️ התרגילים

שבעה תרגילים: בשניים הראשונים הצבה, אחר כך השוואת מקדמים (חיבור או חיסור משוואות), ובסוף מערכת עם שברים ובעיה מילולית.

1פתרו: y = 3x − 2 (1)
2x + y = 13 (2) קל

2פתרו: x − 2y = 1 (1)
3x + 4y = 23 (2) קל

3פתרו: 2x + 3y = 12 (1)
2x − y = 4 (2) בינוני

4פתרו: 4x − 3y = −1 (1)
6x + 5y = 27 (2) בינוני

5פתרו: 5x + 2y = 4 (1)
3x − 4y = 18 (2) בינוני

6פתרו: x2 + y3 = 4 (1)
x − y = 3 (2) מאתגר

7 בחנות יש 40 אופניים ותלת אופן, ולכולם יחד יש 95 גלגלים. לאופניים יש 2 גלגלים ולתלת אופן יש 3 גלגלים. כמה אופניים וכמה תלת אופן יש בחנות? מאתגר

📖 פתרונות מלאים

🔵 תרגיל 1: y = 3x − 2 , 2x + y = 13

פתרו: y = 3x − 2 (1)
2x + y = 13 (2)📖 פתרון מלא:

במשוואה (1) y כבר מבודד. משתמשים בשיטת ההצבה:

מציבים 3x − 2 במשוואה (2), במקום y, בתוך סוגריים:📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה אחת ומציבים אותו במשוואה השנייה

2x + (3x − 2) = 13

2x + 3x − 2 = 13 ⟹ 5x − 2 = 13📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

5x = 13 + 2 = 15📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

x = 155 = 3📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

מציבים x = 3 במשוואה (1):

y = 3 · 3 − 2 = 9 − 2 = 7

בדיקה: משוואה (2): 2 · 3 + 7 = 6 + 7 = 13 ✓

✅ פתרון סופי: x = 3 , y = 7

🟣 תרגיל 2: x − 2y = 1 , 3x + 4y = 23

פתרו: x − 2y = 1 (1)
3x + 4y = 23 (2)📖 פתרון מלא:

מבודדים את x במשוואה (1): מעבירים את −2y לאגף השני בפלוס:

x = 1 + 2y📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

מציבים במשוואה (2), במקום x, בתוך סוגריים:📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה אחת ומציבים אותו במשוואה השנייה

3(1 + 2y) + 4y = 23

3 + 6y + 4y = 23📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

3 + 10y = 23📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

10y = 23 − 3 = 20📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

y = 2010 = 2📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

מציבים y = 2 בביטוי של x:

x = 1 + 2 · 2 = 1 + 4 = 5

בדיקה: משוואה (2): 3 · 5 + 4 · 2 = 15 + 8 = 23 ✓

✅ פתרון סופי: x = 5 , y = 2

🟢 תרגיל 3: 2x + 3y = 12 , 2x − y = 4

פתרו: 2x + 3y = 12 (1)
2x − y = 4 (2)📖 פתרון מלא:

המקדמים של x שווים (2 ו־2). לכן מחסרים את משוואה (2) ממשוואה (1), ו־x נעלם:

(2x + 3y) − (2x − y) = 12 − 4📐 חיסור משוואותA = B , C = D
⟹ A − C = B − D

2x + 3y − 2x + y = 8📐 מינוס לפני סוגריים−(a − b) = −a + b

4y = 8📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

y = 84 = 2📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

מציבים y = 2 במשוואה (2):

2x − 2 = 4

2x = 4 + 2 = 6📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

x = 62 = 3📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

בדיקה: משוואה (1): 2 · 3 + 3 · 2 = 6 + 6 = 12 ✓

✅ פתרון סופי: x = 3 , y = 2

🔵 תרגיל 4: 4x − 3y = −1 , 6x + 5y = 27

פתרו: 4x − 3y = −1 (1)
6x + 5y = 27 (2)📖 פתרון מלא:

המקדמים של x הם 4 ו־6. כדי לקבל 12 בשתי המשוואות: כופלים את (1) ב־3 ואת (2) ב־2.

3 · (4x − 3y) = 3 · (−1)📐 כפל משוואה במספרA = B ⟹ k · A = k · B

12x − 9y = −3📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

2 · (6x + 5y) = 2 · 27📐 כפל משוואה במספרA = B ⟹ k · A = k · B

12x + 10y = 54📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה, ו־12x נעלם:

(12x + 10y) − (12x − 9y) = 54 − (−3)📐 חיסור משוואותA = B , C = D
⟹ A − C = B − D

12x + 10y − 12x + 9y = 54 + 3📐 מינוס לפני סוגריים−(a − b) = −a + b

19y = 57📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

y = 5719 = 3📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

מציבים y = 3 במשוואה (1):

4x − 3 · 3 = −1 ⟹ 4x − 9 = −1

4x = −1 + 9 = 8📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

x = 84 = 2📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

בדיקה: משוואה (2): 6 · 2 + 5 · 3 = 12 + 15 = 27 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2 , y = 3

🟣 תרגיל 5: 5x + 2y = 4 , 3x − 4y = 18

פתרו: 5x + 2y = 4 (1)
3x − 4y = 18 (2)📖 פתרון מלא:

המקדמים של y הם 2 ו־−4. כופלים את (1) ב־2 ונקבל 4y מול −4y:

2 · (5x + 2y) = 2 · 4📐 כפל משוואה במספרA = B ⟹ k · A = k · B

10x + 4y = 8📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

מחברים עם משוואה (2): 4y ו־−4y מתבטלים.

(10x + 4y) + (3x − 4y) = 8 + 18📐 חיבור משוואותA = B , C = D
⟹ A + C = B + D

13x = 26📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

x = 2613 = 2📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

מציבים x = 2 במשוואה (1):

5 · 2 + 2y = 4 ⟹ 10 + 2y = 4

2y = 4 − 10 = −6📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

y = −62 = −3📐 חוק הסימנים בחילוק−ab = −ab

בדיקה: משוואה (2): 3 · 2 − 4 · (−3) = 6 + 12 = 18 ✓

✅ פתרון סופי: x = 2 , y = −3

🟢 תרגיל 6: x2 + y3 = 4 , x − y = 3

פתרו: x2 + y3 = 4 (1)
x − y = 3 (2)📖 פתרון מלא:

קודם מורידים את השברים במשוואה (1). המכנה המשותף של 2 ו־3 הוא 6:

כופלים כל איבר ב־6: 6 : 2 = 3 , 6 : 3 = 2📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

3x + 2y = 24

במשוואה (2) מבודדים את x: מעבירים את −y לאגף השני בפלוס:

x = 3 + y📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

מציבים במשוואה 3x + 2y = 24, בתוך סוגריים:📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה אחת ומציבים אותו במשוואה השנייה

3(3 + y) + 2y = 24

9 + 3y + 2y = 24📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

9 + 5y = 24📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

5y = 24 − 9 = 15📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

y = 155 = 3📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

x = 3 + 3 = 6

בדיקה: משוואה (1): 62 + 33 = 3 + 1 = 4 ✓ , משוואה (2): 6 − 3 = 3 ✓

✅ פתרון סופי: x = 6 , y = 3

🔵 תרגיל 7: אופניים ותלת אופן

בחנות יש 40 אופניים ותלת אופן, ולכולם יחד יש 95 גלגלים. לאופניים יש 2 גלגלים ולתלת אופן יש 3 גלגלים. כמה אופניים וכמה תלת אופן יש בחנות?📖 פתרון מלא:

מסמנים: מספר האופניים = x , מספר התלת אופן = y

״יש 40 אופניים ותלת אופן״ ← משוואה (1): x + y = 40

״95 גלגלים״: לכל אופניים 2 גלגלים ולכל תלת אופן 3 ← משוואה (2): 2x + 3y = 95

מבודדים את x במשוואה (1):

x = 40 − y📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

מציבים במשוואה (2), בתוך סוגריים:📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה אחת ומציבים אותו במשוואה השנייה

2(40 − y) + 3y = 95

80 − 2y + 3y = 95📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

80 + y = 95📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

y = 95 − 80 = 15📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

x = 40 − 15 = 25

בדיקה: 25 + 15 = 40 ✓ , 2 · 25 + 3 · 15 = 50 + 45 = 95 ✓

✅ פתרון סופי: 25 אופניים ו־15 תלת אופן

💡 לזכור

בהצבה מציבים בתוך סוגריים. בהשוואת מקדמים: מקדמים שווים ← מחסרים, מקדמים נגדיים ← מחברים. התשובה היא תמיד זוג: x וגם y, ובודקים במשוואה השנייה ✅

מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים