מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 1-נגזרת-איך גוזרים
📐 כללי גזירה של פולינום – הסבר ודוגמאות
גזירת פולינום היא אחד הנושאים הבסיסיים בחשבון דיפרנציאלי ומופיעה כמעט בכל בגרות במתמטיקה. בדף הזה תמצאו את 4 כללי הגזירה החשובים ודוגמאות פתורות שלב אחרי שלב.
📌 כללי הגזירה
1. נגזרת של קבוע היא 0
(7)' = 0
(7)' = 0
2. כלל החזקה: מורידים את החזקה כמקדם ומפחיתים ממנה 1
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ ← למשל (x⁵)' = 5x⁴
(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ ← למשל (x⁵)' = 5x⁴
3. מקדם נשאר בחוץ: כופלים אותו בנגזרת
(a·xⁿ)' = a·n·xⁿ⁻¹ ← למשל (4x³)' = 12x²
(a·xⁿ)' = a·n·xⁿ⁻¹ ← למשל (4x³)' = 12x²
4. סכום והפרש: גוזרים כל איבר בנפרד
(f + g)' = f' + g'
(f + g)' = f' + g'
✏️ דוגמאות פתורות
דוגמה 1
f(x) = 3x² + 5x − 7
3x² ← 6x | 5x ← 5 | −7 ← 0
f'(x) = 6x + 5
f(x) = 3x² + 5x − 7
3x² ← 6x | 5x ← 5 | −7 ← 0
f'(x) = 6x + 5
דוגמה 2
f(x) = x⁴ − 2x³ + x
f'(x) = 4x³ − 6x² + 1
f(x) = x⁴ − 2x³ + x
f'(x) = 4x³ − 6x² + 1
דוגמה 3
f(x) = 2x⁵ + 4x² − 9
f'(x) = 10x⁴ + 8x
f(x) = 2x⁵ + 4x² − 9
f'(x) = 10x⁴ + 8x
דוגמה 4: נגזרת בנקודה
f(x) = x³ − 3x , מצאו את f'(2)
f'(x) = 3x² − 3
f'(2) = 3·4 − 3 = 9
f(x) = x³ − 3x , מצאו את f'(2)
f'(x) = 3x² − 3
f'(2) = 3·4 − 3 = 9
💡 למה זה חשוב?
הנגזרת מראה את שיפוע הפונקציה בכל נקודה. בעזרתה מוצאים נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה ומשוואת משיק – נושאים שחוזרים בכל שאלון בגרות.
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו 13 תרגילי גזירה, מהקל אל הקשה. כאן כולם כתובים, שלב אחרי שלב, כדי שתוכלו לחזור עליהם ולתרגל לבד 👇
🟡 שלב 1: מספר, ומספר כפול x
תרגיל 1: גזרו את y = 2x
מספר כפול x ← הנגזרת היא המספר שלפני ה־x
תשובה: y' = 2
תרגיל 2: גזרו את y = 10x
המספר שלפני ה־x הוא 10
תשובה: y' = 10
תרגיל 3: גזרו את y = 5
5 הוא מספר קבוע, והנגזרת של מספר היא תמיד 0 (גם של מיליון!)
תשובה: y' = 0
תרגיל 4: גזרו את y = 12x + 10
גוזרים כל איבר בנפרד:
(12x)' = 12 , (10)' = 0
תשובה: y' = 12
🔵 שלב 2: x בחזקה
תרגיל 5: גזרו את y = x³
מורידים את החזקה 3 לפני ה־x, ומהחזקה מחסירים 1:
3·x³⁻¹ = 3x²
תשובה: y' = 3x²
תרגיל 6: גזרו את y = x⁴
ה־4 יורד לפני ה־x, והחזקה נהיית 4 − 1 = 3
4·x⁴⁻¹ = 4x³
תשובה: y' = 4x³
🟣 שלב 3: תרגילים משולבים
תרגיל 7: גזרו את y = x⁶ + 2x − 100
גוזרים כל איבר בנפרד:
(x⁶)' = 6x⁵
(2x)' = 2 , (−100)' = 0
תשובה: y' = 6x⁵ + 2
תרגיל 8: גזרו את y = 2x³
מספר שכופל את ה־x נשאר, ואת x³ גוזרים כרגיל:
2·3x² = 6x²
תשובה: y' = 6x²
תרגיל 9: גזרו את y = x²2
מספר שמחלק את ה־x גם הוא נשאר. גוזרים רק את x²:
(x²)' = 2x
ואז מצמצמים: 2x2 = x
תשובה: y' = x
תרגיל 10: גזרו את y = 2x⁴ + 4x + 9
ה־2 נשאר, ואת x⁴ גוזרים:
2·4x³ = 8x³
(4x)' = 4 , (9)' = 0
תשובה: y' = 8x³ + 4
תרגיל 11: גזרו את y = −x⁷ + 6x + 10
מינוס לפני ה־x זה כאילו כתוב −1·x⁷ , והמספר −1 פשוט נשאר:
−1·7x⁶ = −7x⁶
(6x)' = 6 , (10)' = 0
תשובה: y' = −7x⁶ + 6
תרגיל 12: גזרו את y = 2x³3 − x⁷5 + 12x + 1
כל מספר שכופל או מחלק נשאר, וגוזרים רק את החזקה:
2·3x²3 = 2x² (מצמצמים את ה־3)
(x⁷5)' = 7x⁶5
(12x)' = 12 , (1)' = 0
תשובה: y' = 2x² − 7x⁶5 + 12
תרגיל 13: גזרו את y = (x − 3)(x − 4)
קודם פותחים סוגריים (כל איבר כפול כל איבר):
x² − 4x − 3x + 12
= x² − 7x + 12
עכשיו גוזרים כל איבר:
(x²)' = 2x , (−7x)' = −7
(12)' = 0
תשובה: y' = 2x − 7
💡 לזכור
מספר שכופל או מחלק את ה־x נשאר בנגזרת. מספר שעומד לבד (מחובר או מחוסר) נעלם, כי הנגזרת שלו 0. ואם יש סוגריים מוכפלים, קודם פותחים אותם ורק אז גוזרים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il