שיעור 4 – משוואות עם שברים – מכנה משותף

טכניקה אלגברית · משוואה עם נעלם אחד · שיעור 4

📄 דף הסבר: משוואות עם שברים – מכנה משותף

כופלים במכנה המשותף ונפטרים מהשברים

🎬 סרטון הסבר

מהירות:

הכלל

xa · a = x

כופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף, והשברים נעלמים.

מכנה משותף = המספר הקטן ביותר שכל המכנים מתחלקים בו.

מתי משתמשים?

כשבמשוואה יש שברים, כמו x3 או x + 14.

אחרי הכפל מקבלים משוואה בלי שברים, ופותרים כמו שלמדנו.

שלביםפתרון משוואה עם שברים

1מוצאים מכנה משותף

המספר הקטן ביותר שכל המכנים מתחלקים בו.

2כופלים כל איבר

בשני האגפים, גם איבר בלי שבר. מצמצמים כל שבר.

3פותחים סוגריים

מונה עם כמה איברים נכנס לסוגריים, ואז חוק הפילוג.

4פותרים ובודקים

מעבירים אגפים, מחלקים, ובודקים במשוואה המקורית.

מכנה משותף · כופלים כל איבר · מצמצמים · פותרים ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

שלוש משוואות עם שברים. ליד כל שלב כתוב הכלל שמשתמשים בו.

🔵 תרגיל 1: x3 + 2 = 6

פתרו: x3 + 2 = 6

יש מכנה אחד, 3. כופלים כל איבר בשני האגפים ב־3, גם את 2 וגם את 6:

3 · x3 + 3 · 2 = 3 · 6📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

מצמצמים: 3 · x3 = x📐 צמצוםxa · a = x

x + 6 = 18

מעבירים את 6 לאגף השני במינוס:

x = 18 − 6📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

x = 12

בדיקה: 123 + 2 = 4 + 2 = 6 ✓

✅ פתרון סופי: x = 12

🟣 תרגיל 2: x2 + x3 = 5

פתרו: x2 + x3 = 5

המכנים הם 2 ו־3. המכנה המשותף הוא 6, כי 6 מתחלק גם ב־2 וגם ב־3.

6 · x2 + 6 · x3 = 6 · 5📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

מצמצמים: 6 : 2 = 3 , 6 : 3 = 2📐 צמצוםxa · a = x

3x + 2x = 30

5x = 30📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x

מחלקים את שני האגפים ב־5:

x = 305 = 6📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca

בדיקה: 62 + 63 = 3 + 2 = 5 ✓

✅ פתרון סופי: x = 6

🟢 תרגיל 3: x + 14 − x − 23 = 1

פתרו: x + 14 − x − 23 = 1

המכנים הם 4 ו־3. המכנה המשותף הוא 12.

כשהמונה הוא כמה איברים, שמים אותו בסוגריים לפני הכפל:

12 · (x + 1)4 − 12 · (x − 2)3 = 12 · 1📐 כפל במכנה המשותףכופלים כל איבר בשני האגפים במכנה המשותף

מצמצמים: 12 : 4 = 3 , 12 : 3 = 4📐 צמצוםxa · a = x

3(x + 1) − 4(x − 2) = 12

פותחים סוגריים. שימו לב למינוס לפני 4:

3(x + 1) = 3x + 3📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac

−4(x − 2) = −4x + 8📐 מינוס לפני סוגריים−a(b − c) = −ab + ac

3x + 3 − 4x + 8 = 12

מכנסים: 3x − 4x = −x , 3 + 8 = 11

−x + 11 = 12

−x = 12 − 11 = 1📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b

מחלקים את שני האגפים ב־(−1):

x = 1−1 = −1📐 חוק הסימנים בחילוק−a−b = ab , a−b = −ab

בדיקה: −1 + 14 − −1 − 23 = 0 − (−1) = 1 ✓

✅ פתרון סופי: x = −1

💡 לזכור

כופלים כל איבר במכנה המשותף, גם איבר בלי שבר. מונה עם כמה איברים נכנס לסוגריים, ומינוס לפני שבר הופך את כל הסימנים במונה.

מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים