מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 13- הוספה או הכפלה ב-k
סטטיסטיקה · 4 יחידות · שאלון 471
📄 דף הסבר: הכפלה או הוספה של k לכל הנתונים
מה קורה למדדי המרכז ולמדדי הפיזור כשמשנים את כל הנתונים באותו אופן
שני סוגי מדדים
מדדי מרכז: ממוצע, חציון, שכיח. מדדי פיזור: טווח, סטיית תקן.
שני כללים
כפל ב־k ← כל המדדים מוכפלים ב־k
הוספה של k ← רק מדדי המרכז זזים ב־k; הטווח וסטיית התקן לא משתנים.
כלליםמה משתנה ואיך
1מכפילים או מחלקים ב־k
הטווח, השכיח, הממוצע, החציון וסטיית התקן – כולם מוכפלים (או מחולקים) ב־k (כש־k חיובי).
2מוסיפים או מורידים k
השכיח, החציון והממוצע עולים (או יורדים) ב־k.
3הפיזור בהוספה
הטווח וסטיית התקן לא משתנים: כל הנתונים והממוצע זזים יחד, והסטיות מהממוצע נשארות אותו דבר.
4בבגרות
לא צריך לחשב מחדש: מפעילים את הכלל על המדד הקודם.
כפל ← הכול × k · הוספה ← מרכז + k, פיזור ללא שינוי ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון חישבנו את כל המדדים של חמישה מספרים, ובדקנו מה קורה להם כשמכפילים כל נתון פי 3 וכשמוסיפים לכל נתון 2.
השאלה: נתונים המספרים 12 , 10 , 8 , 6 , 6.
🟡 סעיף א: טווח, ממוצע, חציון, שכיח וסטיית תקן של 6, 6, 8, 10, 12
חשב טווח, ממוצע, חציון, סטיית תקן ושכיח.
טווח: 12 − 6 = 6
ממוצע: x̄ = 6 + 6 + 8 + 10 + 125 = 8.4
שכיח: 6 (מופיע פעמיים) , חציון: 8 (בדיוק באמצע)
S = √2·(6−8.4)² + 1·(8−8.4)²
+ 1·(10−8.4)² + 1·(12−8.4)²5
+ 1·(10−8.4)² + 1·(12−8.4)²5
S = √11.52 + 0.16 + 2.56 + 12.965
S = √5.44
תשובה: טווח 6 , ממוצע 8.4 , שכיח 6 , חציון 8 , S ≈ 2.33
🔵 סעיף ב: מה קורה למדדים כשמכפילים כל נתון פי 3?
אם נכפיל את כל אחד מהנתונים פי 3, האם המדדים ישתנו?
הנתונים החדשים: 36 , 30 , 24 , 18 , 18
טווח: 36 − 18 = 18 (פי 3) , שכיח: 18 (פי 3)
ממוצע: 8.4·3 = 25.2 , חציון: 24 (פי 3)
S = √2(18−25.2)²
+ (24−25.2)² + …5
+ (24−25.2)² + …5
S ≈ 7 – גם סטיית התקן גדלה פי 3 (3·2.33).
תשובה: כל המדדים גדלים פי 3
🟢 סעיף ג: מה קורה למדדים כשמוסיפים 2 לכל נתון?
אם נוסיף לכל אחד מהנתונים 2, האם המדדים ישתנו?
הנתונים החדשים: 14 , 12 , 10 , 8 , 8
טווח: 14 − 8 = 6 ← לא משתנה
שכיח: 8 , חציון: 10 , ממוצע: 10.4 ← עלו ב־2
S = √2·(8−10.4)²
+ 1·(10−10.4)²
+ 1·(12−10.4)²
+ 1·(14−10.4)²5
+ 1·(10−10.4)²
+ 1·(12−10.4)²
+ 1·(14−10.4)²5
הסוגריים זהים לסעיף א (8 − 10.4 = 6 − 8.4 = −2.4) ← סטיית התקן לא משתנה.
תשובה: שכיח, חציון וממוצע עולים ב־2; טווח וסטיית תקן לא משתנים
💡 לזכור
כפל ב־k: כל המדדים מוכפלים ב־k. הוספה של k: השכיח, החציון והממוצע זזים ב־k, והטווח וסטיית התקן לא משתנים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il.
הוספה של קבוע (k):
הוספה של קבוע k לכל ערך במערך נתונים משפיעה על מדדי המרכזיות אך אינה משפיעה על מדדי הפיזור.
- ממוצע: הממוצע החדש יהיה שווה לממוצע המקורי + k.
- חציון: החציון החדש יהיה שווה לחציון המקורי + k.
- שכיח: השכיח החדש יהיה שווה לשכיח המקורי + k.
- טווח: הטווח לא משתנה.
- סטיית תקן: סטיית התקן לא משתנה.
הסבר: הוספה של קבוע k פשוטה מזיזה את כל ההתפלגות ימינה (אם k חיובי) או שמאלה (אם k שלילי) על ציר המספרים. המרחקים בין הערכים נשארים זהים, ולכן מדדי הפיזור לא משתנים.
דוגמה:
נתונים מקוריים: 2, 4, 6, 8
-
ממוצע: 5
-
חציון: 5
-
טווח: 6
-
סטיית תקן: 2.24
הוספת k = 3
-
ממוצע: 8 (5 + 3)
-
חציון: 8 (5 + 3)
-
טווח: 6 (ללא שינוי)
-
סטיית תקן: 2.24 (ללא שינוי)
הכפלה בקבוע (k):
הכפלה של כל ערך במערך נתונים בקבוע k משפיעה הן על מדדי המרכזיות והן על מדדי הפיזור.
-
ממוצע: הממוצע החדש יהיה שווה לממוצע המקורי * k.
-
חציון: החציון החדש יהיה שווה לחציון המקורי * k.
-
שכיח: השכיח החדש יהיה שווה לשכיח המקורי * k.
-
טווח: הטווח החדש יהיה שווה לטווח המקורי * |k| (הערך המוחלט של k).
-
סטיית תקן: סטיית התקן החדשה תהיה שווה לסטיית התקן המקורית * |k|.
הסבר: הכפלה בקבוע k מרחיבה (אם |k| > 1) או מכווצת (אם 0 < |k| < 1) את ההתפלגות. המרחקים בין הערכים משתנים, ולכן גם מדדי הפיזור משתנים.
דוגמה:
נתונים מקוריים: 2, 4, 6, 8
-
ממוצע: 5
-
חציון: 5
-
טווח: 6
-
סטיית תקן: 2.24
הכפלה ב-k = 2:
-
ממוצע: 10 (5 * 2)
-
חציון: 10 (5 * 2)
-
טווח: 12 (6 * 2)
-
סטיית תקן: 4.48 (2.24 * 2)
