שיעור 38: דמיון משולשים – יחס דמיון, אורכים ושטחים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

דמיון משולשים – יחס דמיון, אורכים ושטחים

📘 מה לומדים

שני משולשים דומים כשיש להם אותה צורה: אחד הוא הגדלה (או הקטנה) של השני.

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני – המשולשים דומים.📐 משפט דמיון ז.זשתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

צלעות מתאימות הן צלעות שמול זוויות שוות. היחס בין כל זוג צלעות מתאימות שווה, וזה יחס הדמיון k:

k = צלע במשולש הגדולהצלע המתאימה בקטן📐 יחס דמיוןk = צלע במשולש הגדולהצלע המתאימה בקטן

גם ההיקפים מתייחסים לפי k, אבל השטחים מתייחסים לפי k²:

S₁S₂ = k²📐 יחס היקפים ויחס שטחיםP₁P₂ = kS₁S₂ = k²

במשולש ישר זווית אפשר לשלב גם את משפט פיתגורס.

📄 דוגמה 1 – צלעות, היקפים ושטחים

במשולשים ABC ו־DEF נתון: ∢A = ∢D , ∢B = ∢E = 90°.

אורכי הצלעות: AB = 6 , BC = 8 , AC = 10 , DE = 9 (ס"מ).

א. הסבירו מדוע המשולשים דומים.

ב. מצאו את יחס הדמיון.

ג. מצאו את EF ואת DF.

ד. מצאו את יחס ההיקפים.

ה. מצאו את שטח המשולש DEF.

✏️ פתרון

סעיף א – למה המשולשים דומים

∢A = ∢D (נתון) ו־∢B = ∢E = 90° (נתון).

יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים:📐 משפט דמיון ז.זשתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

△ABC ∼ △DEF

ההתאמה: A מתאים ל־D , B ל־E , C ל־F.

✅ פתרון סופי: דומים לפי ז.ז

סעיף ב – יחס הדמיון

DE במשולש הגדול מתאימה ל־AB במשולש הקטן:

k = DEAB📐 יחס דמיוןk = צלע במשולש הגדולהצלע המתאימה בקטן

נציב DE = 9 , AB = 6:

k = 96 = 1.5

✅ פתרון סופי: k = 1.5

סעיף ג – הצלעות EF ו־DF

EF מתאימה ל־BC:

EFBC = k

נציב BC = 8 , k = 1.5:

EF8 = 1.5

EF = 1.5 · 8 = 12

DF מתאימה ל־AC:

DFAC = k

נציב AC = 10 , k = 1.5:

DF10 = 1.5

DF = 1.5 · 10 = 15

✅ פתרון סופי: EF = 12 ס"מ , DF = 15 ס"מ

סעיף ד – יחס ההיקפים

P_ABC = 6 + 8 + 10 = 24

P_DEF = 9 + 12 + 15 = 36

P₁P₂ = k📐 יחס היקפים ויחס שטחיםP₁P₂ = kS₁S₂ = k²

P_DEFP_ABC = 3624 = 1.5

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון, כמו שציפינו.

✅ פתרון סופי: 1.5

סעיף ה – שטח המשולש DEF

קודם שטח המשולש הקטן (ישר זווית ב־B):

S_ABC = AB · BC2📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2

נציב AB = 6 , BC = 8:

S_ABC = 6 · 82 = 24

יחס השטחים הוא k²:

S_DEFS_ABC = k²📐 יחס היקפים ויחס שטחיםP₁P₂ = kS₁S₂ = k²

נציב S_ABC = 24 , k = 1.5:

S_DEF24 = 1.5²

S_DEF = 24 · 2.25 = 54

בדיקה: S_DEF = 9 · 122 = 54 ✓

✅ פתרון סופי: 54 סמ"ר

📄 דוגמה 2 – עמוד, עץ וצל

באותה שעה, מוט אנכי באורך 1.5 מטרים מטיל צל באורך 2 מטרים, ועץ מטיל צל באורך 8 מטרים.

המוט AB והצל שלו BC , העץ DE והצל שלו EF. קרני השמש מקבילות, ולכן ∢C = ∢F , ו־∢B = ∢E = 90°.

א. מצאו את גובה העץ.

ב. מצאו את המרחק מראש העץ עד קצה הצל שלו (DF).

✏️ פתרון

סעיף א – גובה העץ

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן △ABC ∼ △DEF.📐 משפט דמיון ז.זשתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

הצל EF מתאים לצל BC:

k = EFBC📐 יחס דמיוןk = צלע במשולש הגדולהצלע המתאימה בקטן

נציב EF = 8 , BC = 2:

k = 82 = 4

העץ DE מתאים למוט AB:

DEAB = k

נציב AB = 1.5 , k = 4:

DE1.5 = 4

DE = 4 · 1.5 = 6

✅ פתרון סופי: גובה העץ 6 מטרים

סעיף ב – המרחק DF

במשולש DEF הזווית E ישרה, ו־DF הוא היתר:

DF² = DE² + EF²📐 משפט פיתגורס (c – היתר)c² = a² + b²

נציב DE = 6 , EF = 8:

DF² = 6² + 8²

DF² = 36 + 64 = 100

DF = √100 = 10

✅ פתרון סופי: 10 מטרים

📌 סיכום

משפט דמיון	שתי זוויות שוות בהתאמה (ז.ז)
צלעות מתאימות	מול זוויות שוות
יחס דמיון k	צלע בגדולהצלע המתאימה בקטן
יחס היקפים	k
יחס שטחים	k²

מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים