מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 8 -פתרון בגרות 3 יחידות 2012- בעיית קיצון עם גרפים
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 3 יחידות 2012 נקודה על גרף של פונקציית שורש יוצרת מלבן עם הצירים: מביעים את היקף המלבן באמצעות x , גוזרים, ומוצאים את ההיקף המינימלי.
🔵 סעיף א: הבעת היקף המלבן ABOC באמצעות שיעור ה־x של הנקודה A
בציור שלפניך נתון גרף הפונקציה f(x) = −√x + 2 ברביע הראשון. מנקודה A שעל גרף הפונקציה מורידים אנכים לצירים: AB ו־AC , ונוצר המלבן ABOC . א. הבע את היקף המלבן באמצעות שיעור ה־x של הנקודה A .
מסמנים את הנקודה A : ה־x שלה הוא x , וה־y שלה מתקבל מהצבת x בפונקציה:
A(x , −√x + 2)
מסמנים את היקף המלבן ב־p . במלבן AB = OC ו־AC = OB , לכן:
p = 2AC + 2AB
AC = x (שיעור ה־x של A), ו־AB = −√x + 2 (שיעור ה־y של A):
p = 2x + 2(−√x + 2)
תשובה: p = 2x + 2(−√x + 2)
🟣 סעיף ב1: מציאת x שעבורו היקף המלבן מינימלי (נגזרת ובדיקת מינימום)
ב. (1) מה צריך להיות הערך של x כדי שהיקף המלבן ABOC יהיה מינימלי?
לפני הגזירה פותחים סוגריים:
p = 2x − 2√x + 4
תזכורת בצד: (√x)' = 12√x , ולכן
(−2√x)' = −2·12√x = −1√x
גוזרים ומשווים ל־0:
p' = 2 − 1√x = 0
מעבירים אגפים וכופלים בהצלבה:
21 = 1√x
2√x = 1 /:2
√x = 12 /()²
x = 14
בדיקה (פתרנו משוואה עם שורש): 2 − 1√14 = 2 − 2 = 0 ✓
בודקים שזה מינימום. תחום ההגדרה x ≥ 0 , לכן לוקחים נקודה לפני 14 (בין 0 ל־14) ונקודה אחרי:
p'(1) = 2 − 1√1 = 1 > 0
p'(18) = 2 − 1√18 ≈ −0.83 < 0
| x | 18 | 14 | 1 |
| p' | − | 0 | + |
| p | ↘ | min | ↗ |
הפונקציה יורדת ואחר כך עולה, לכן זו נקודת מינימום.
תשובה: x = 14
🟢 סעיף ב2: ההיקף המינימלי של המלבן
ב. (2) מצא את ההיקף המינימלי של המלבן.
מוצאים את ה־y של A כש־x = 14 :
y = −√14 + 2 = −12 + 2 = 112
A(14 , 112)
AC = 14 , AB = 112 :
p = 2·14 + 2·112
= 12 + 3 = 312
תשובה: p = 312
💡 לזכור
נקודה על גרף הפונקציה מסמנים (x , f(x)) . בגזירה של שורש: (√x)' = 12√x . אחרי פתרון משוואה עם שורש – תמיד עושים בדיקה, ובטבלה לוקחים רק ערכים מתוך תחום ההגדרה x ≥ 0 .
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.ilלעמוד הקורס⇐
פתרון בגרות 3 יחידות 2012
– בעיית קיצון עם גרפים
