מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 25 – פתרון בגרות 2024 חורף-חקירת שורש (לינארי ללא חזקה בשורש)
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו את שאלת חקירת פונקציית השורש מבגרות 481 חורף 2024: תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון עם נגזרת של מכפלה (כולל קיצון קצה), סקיצה, ומציאת c כש־g(x) = f(x) − c משיקה לישר y = 20 👇
📝 השאלה: בגרות 481 חורף 2024, f(x) = x²√−2x + 10
נתונה הפונקציה f(x) = x² · √−2x + 10
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = f(x) − c , c הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו תחום. גרף הפונקציה g(x) משיק לישר y = 20.
ה. מצאו את הערך של c.
🟡 סעיף א: תחום הגדרה של x²√−2x + 10
סעיף א: מצאו את תחום ההגדרה של f(x).
מה שבתוך השורש צריך להיות גדול שווה 0:
−2x + 10 ≥ 0
מעבירים אגפים:
10 ≥ 2x ← מחלקים ב־2
תשובה: ת"ה: x ≤ 5
🔵 סעיף ב: נקודות החיתוך עם הצירים
סעיף ב: מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.
עם ציר y (x = 0, והוא בתחום ההגדרה):
f(0) = 0² · √10 = 0 ← (0 , 0)
עם ציר x (y = 0):
0 = x² · √−2x + 10
x = 0 או √−2x + 10 = 0 ← מעלים בריבוע
−2x + 10 = 0
10 = 2x
x = 5
בדיקה: −2·5 + 10 = −10 + 10 = 0 ✓ (ו־5 בתחום ההגדרה)
תשובה: (0 , 0) , (5 , 0)
🟢 סעיף ג: נקודות הקיצון של x²√−2x + 10 (נגזרת של מכפלה)
סעיף ג: מצאו את כל נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
מכפלה: f = x² , g = √−2x + 10 ← (f·g)' = f'·g + g'·f
נגזרת של שורש: √f(x)' = f'(x)2√f(x)
גוזרים ומשווים ל־0:
f'(x) = 2x√−2x + 10 +
−2 · x²2√−2x + 10 = 0
מצמצמים את ה־2 ומעבירים אגף:
2x√−2x + 101 = x²√−2x + 10
כפל בהצלבה (שורש כפול שורש = מה שבתוכו):
x² = 2x(−2x + 10)
x² = −4x² + 20x
0 = −5x² + 20x ← מחלקים ב־(−5)
0 = x² − 4x
x(x − 4) = 0
x = 0 או x = 4 – שתיהן בתחום x ≤ 5
מציבים בנגזרת לפני שהעברנו אגפים, ב־x = −1 , x = 1 , x = 4.5:
| x | −1 | 0 | 1 | 4 | 4.5 | 5 |
| f' | − | 0 | + | 0 | − | |
| f | ↘ | min | ↗ | max | ↘ | min |
ה־y של 0 כבר ידוע מסעיף ב: (0 , 0).
f(4) = 16√−2·4 + 10
= 16√−8 + 10 = 16√2
נקודת קצה: x = 5 (ה־y הוא 0). הפונקציה יורדת אליה ← מינימום.
תשובה: min(0 , 0)
max(4 , 16√2)
min(5 , 0) (קצה)
max(4 , 16√2)
min(5 , 0) (קצה)
🟣 סעיף ד: סקיצה של גרף f(x) = x²√−2x + 10
סעיף ד: סרטטו סקיצה של גרף f(x).
משמאל הגרף יורד עד המינימום (0 , 0), עולה עד המקסימום (4 , 16√2) (בערך 22.63), ויורד עד נקודת הקצה (5 , 0). אחרי 5 אין גרף.
תשובה: יורד ל־(0 , 0) , עולה ל־(4 , 16√2) ונגמר ב־(5 , 0)
🟡 סעיף ה: g(x) = f(x) − c משיקה לישר y = 20
סעיף ה: מצאו את הערך של c.
g(x) = f(x) − c: אותו גרף, מוזז c יחידות למטה.
16√2 ≈ 22.63 , כלומר המקסימום של f נמצא מעל הישר y = 20.
כדי ש־g תשיק לישר y = 20, נקודת הקיצון צריכה לרדת בדיוק עד הישר:
16√2 − c = 20
תשובה: c = 16√2 − 20 ≈ 2.63
💡 לזכור
הזזה f(x) − c מורידה את כל הגרף ב־c. "משיקה לישר אופקי" = נקודת הקיצון יושבת בדיוק על הישר, ולכן c = ymax − 20.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il