מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 8 – שיטת השוואת מקדמים
טכניקה אלגברית · משוואות בשני נעלמים · שיעור 8
📄 דף הסבר: שיטת השוואת מקדמים
מחברים את המשוואות כך שנעלם אחד נעלם
🎬 סרטון הסבר
מהירות:
הרעיון
3y + (−3y) = 0
כשלנעלם יש מקדמים נגדיים בשתי המשוואות, מחברים את המשוואות והוא נעלם.
מתי משתמשים?
כשאין נעלם שקל לבודד, או כשהמקדמים כבר נגדיים.
אם המקדמים לא נגדיים, קודם כופלים משוואה (או שתיהן) במספר.
שלביםפתרון בהשוואת מקדמים
1משווים מקדמים
כופלים משוואה במספר כך שלאחד הנעלמים יהיו מקדמים נגדיים.
2מחברים
מחברים את שתי המשוואות: אגף עם אגף.
3פותרים
נשארה משוואה עם נעלם אחד.
4מציבים ובודקים
מציבים במשוואה מקורית, מוצאים את השני ובודקים בשתיהן.
משווים מקדמים · מחברים · פותרים · מציבים · בודקים ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
שלוש מערכות: בראשונה המקדמים כבר נגדיים, בשנייה כופלים משוואה אחת, ובשלישית כופלים את שתיהן.
🔵 תרגיל 1: x + y = 10 , x − y = 4
פתרו: x + y = 10 (1)
x − y = 4 (2)
x − y = 4 (2)
המקדמים של y הם 1 ו־−1: הם כבר נגדיים. מחברים את המשוואות:
(x + y) + (x − y) = 10 + 4📐 חיבור משוואותA = B , C = D
⟹ A + C = B + D
⟹ A + C = B + D
2x = 14📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x
x = 142 = 7📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca
מציבים x = 7 במשוואה (1):
7 + y = 10
y = 10 − 7 = 3📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b
בדיקה: משוואה (2): 7 − 3 = 4 ✓
✅ פתרון סופי: x = 7 , y = 3
🟣 תרגיל 2: x + 2y = 8 , 3x − y = 3
פתרו: x + 2y = 8 (1)
3x − y = 3 (2)
3x − y = 3 (2)
ב־(1) המקדם של y הוא 2 וב־(2) הוא −1. כופלים את (2) ב־2 כדי לקבל −2y:
2 · (3x − y) = 2 · 3📐 כפל משוואה במספרA = B ⟹ k · A = k · B
6x − 2y = 6📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac
עכשיו מחברים עם משוואה (1): 2y ו־−2y מתבטלים.
(x + 2y) + (6x − 2y) = 8 + 6📐 חיבור משוואותA = B , C = D
⟹ A + C = B + D
⟹ A + C = B + D
7x = 14📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x
x = 147 = 2📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca
מציבים x = 2 במשוואה (1):
2 + 2y = 8
2y = 8 − 2 = 6📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b
y = 62 = 3📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca
בדיקה: משוואה (2): 3 · 2 − 3 = 6 − 3 = 3 ✓
✅ פתרון סופי: x = 2 , y = 3
🟢 תרגיל 3: 3x + 2y = 7 , 5x − 3y = 37
פתרו: 3x + 2y = 7 (1)
5x − 3y = 37 (2)
5x − 3y = 37 (2)
המקדמים של y הם 2 ו־−3. כדי לקבל 6 ו־−6: כופלים את (1) ב־3 ואת (2) ב־2.
3 · (3x + 2y) = 3 · 7📐 כפל משוואה במספרA = B ⟹ k · A = k · B
9x + 6y = 21📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac
2 · (5x − 3y) = 2 · 37📐 כפל משוואה במספרA = B ⟹ k · A = k · B
10x − 6y = 74📐 חוק הפילוגa(b + c) = ab + ac
מחברים את שתי המשוואות החדשות: 6y ו־−6y מתבטלים.
9x + 10x = 21 + 74📐 חיבור משוואותA = B , C = D
⟹ A + C = B + D
⟹ A + C = B + D
19x = 95📐 כינוס איברים דומיםax + bx = (a + b)x
x = 9519 = 5📐 חילוק בשני האגפיםa · x = c ⟹ x = ca
מציבים x = 5 במשוואה (1):
3 · 5 + 2y = 7 ⟹ 15 + 2y = 7
2y = 7 − 15 = −8📐 העברת אגפיםx + b = c ⟹ x = c − b
y = −82 = −4📐 חוק הסימנים בחילוק−ab = −ab
בדיקה: משוואה (2): 5 · 5 − 3 · (−4) = 25 + 12 = 37 ✓📐 חוק הסימנים בכפל−a · (−b) = ab
✅ פתרון סופי: x = 5 , y = −4
💡 לזכור
כשכופלים משוואה במספר, כופלים את כל האיברים, גם את האגף השני. מחברים רק כשהמקדמים נגדיים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il