מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 4- פתרון בגרות 2017 מועד א שאלון 481 4 יחידות-בעיית קיצון גאומטרית
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2017 מועד א (שאלון 481) מביעים בעזרת פיתגורס את שטח המשולש ABC, ואז מוצאים מתי שטח המרובע AEBC מינימלי.
🔵 סעיף א: הבעת שטח המשולש ABC באמצעות x (בעזרת פיתגורס)
ABC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים (∢ABC = 90°). על הצלע AB בנו משולש ישר זווית AEB כך ש־AB הוא היתר של המשולש AEB, כמתואר בציור. נתון כי סכום אורכי הניצבים של המשולש AEB הוא 6 ס"מ. נסמן את אורך הצלע AE ב־x. א. הבע באמצעות x את שטח המשולש ABC.
הניצבים של המשולש AEB הם AE ו־BE: AE + BE = 6
AE = x , ולכן BE = 6 − x
שטח משולש ישר זווית = ניצב כפול ניצב חלקי 2. בגלל ש־AB = BC (שווה שוקיים):
SΔABC = AB · BC2 = AB²2
את AB² מוצאים בפיתגורס במשולש AEB (AB הוא היתר):
AB² = x² + (6 − x)²
AB² = x² + 36 − 12x + x²
AB² = 2x² − 12x + 36
מציבים בשטח (אין צורך להוציא שורש):
SΔABC = 2x² − 12x + 362
תשובה: SΔABC = x² − 6x + 18
🟢 סעיף ב: עבור איזה ערך של x שטח המרובע AEBC מינימלי
ב. עבור איזה ערך של x שטח המרובע AEBC הוא מינימלי?
המרובע בנוי משני משולשים: S = SΔABC + SΔABE
S = x² − 6x + 18 + x · (6 − x)2
S = x² − 6x + 18 + 6x − x²2
גוזרים (המכנה הוא מספר, לכן אין צורך בנגזרת של מנה – גוזרים את המונה ומשאירים את המכנה):
S' = 2x − 6 + 6 − 2x2 = 0
2x − 6 + 3 − x = 0
x − 3 = 0
x = 3
בדיקה שזה מינימום – מציבים בנגזרת y' = x − 3 מספר לפני 3 ומספר אחריו:
y'(0) = 0 − 3 < 0
y'(4) = 4 − 3 > 0
| f | ↘ | min | ↗ |
| f' | − | 0 | + |
| x | x=0 | 3 | x=4 |
הפונקציה יורדת ואז עולה – לכן ב־x = 3 שטח המרובע מינימלי.
תשובה: x = 3 ס"מ
💡 לזכור
כשהשטח מורכב מכמה צורות – מחברים את השטחים לביטוי אחד ב־x, ורק אז גוזרים ומשווים ל־0.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il