מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 15 – תרגילים נוספים: פירוק טרינום (ללא סרטון)
טכניקה אלגברית · פירוק לגורמים · שיעור 15 · ללא סרטון
📝 תרגילים נוספים – פירוק טרינום
טרינומים עם מספרים גדולים, עם מינוסים, ועם מקדם של x2 שאינו 1
📌 תרגילים ללא סרטון: קודם כל התרגילים, ואחריהם פתרון מלא לכל תרגיל
איך מתרגלים?
- מעתיקים את התרגילים למחברת ופותרים לבד.
- רק אחר כך יורדים לפתרונות המלאים ומשווים.
- יצא משהו אחר? מחפשים את השלב הראשון שבו הפתרון שלכם שונה.
✏️ התרגילים
14 טרינומים, מהקל אל המאתגר. בכל תרגיל מוצאים את שני המספרים צעד אחר צעד: קודם הסימנים, אחר כך רשימת הזוגות, ובסוף בדיקה בפתיחת סוגריים. מתרגיל 10 המקדם של x2 אינו 1, ומשתמשים בשיטת הפיצול.
1פרקו: x2 + 13x + 42 קל
2פרקו: x2 − 15x + 56 קל
3פרקו: x2 − x − 110 בינוני
4פרקו: x2 + 3x − 108 בינוני
5פרקו: x2 − 4x − 96 בינוני
6פרקו: x2 + 25x + 144 מאתגר
7פרקו: x2 − 26x + 168 מאתגר
8פרקו: −x2 + 5x + 24 מאתגר
9פרקו: 5x2 − 5x − 550 מאתגר
10פרקו: 2x2 + 7x + 3 בינוני
11פרקו: 2x2 − 7x − 15 מאתגר
12פרקו: 3x2 − 10x + 8 מאתגר
13פרקו: 6x2 + x − 12 מאתגר
14פרקו: 4x2 − 4x − 15 מאתגר
📖 פתרונות מלאים
🔵 תרגיל 1: x2 + 13x + 42
פרקו: x2 + 13x + 42📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה 42, ומה ועוד מה שווה 13?
הכפל חיובי והסכום חיובי ← שני המספרים חיוביים.
זוגות שהכפל שלהם 42: 1 · 42 , 2 · 21 , 3 · 14 , 6 · 7
מה כפול מה: 6 · 7 = 42 ✓ מה ועוד מה: 6 + 7 = 13 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 + 13x + 42 = (x + 6)(x + 7)
בדיקה: (x + 6)(x + 7) = x2 + 7x + 6x + 42 = x2 + 13x + 42 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x + 6)(x + 7)
🟣 תרגיל 2: x2 − 15x + 56
פרקו: x2 − 15x + 56📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה 56, ומה ועוד מה שווה −15?
הכפל חיובי והסכום שלילי ← שני המספרים שליליים.
זוגות שהכפל שלהם 56: 1 · 56 , 2 · 28 , 4 · 14 , 7 · 8
מה כפול מה: (−7) · (−8) = 56 ✓ מה ועוד מה: (−7) + (−8) = −15 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 − 15x + 56 = (x − 7)(x − 8)
בדיקה: (x − 7)(x − 8) = x2 − 8x − 7x + 56 = x2 − 15x + 56 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x − 7)(x − 8)
🟢 תרגיל 3: x2 − x − 110
פרקו: x2 − x − 110📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה −110, ומה ועוד מה שווה −1?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 1.
זוגות שהכפל שלהם 110: 1 · 110 , 2 · 55 , 5 · 22 , 10 · 11
טיפ: ההפרש צריך להיות רק 1, ולכן מחפשים שני מספרים צמודים שהכפל שלהם 110: 10 · 11 = 110.
מה כפול מה: 10 · (−11) = −110 ✓ מה ועוד מה: 10 + (−11) = −1 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 − x − 110 = (x + 10)(x − 11)
בדיקה: (x + 10)(x − 11) = x2 − 11x + 10x − 110 = x2 − x − 110 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x + 10)(x − 11)
🔵 תרגיל 4: x2 + 3x − 108
פרקו: x2 + 3x − 108📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה −108, ומה ועוד מה שווה 3?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום חיובי ← המספר הגדול בזוג הוא החיובי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 3.
זוגות שהכפל שלהם 108: 1 · 108 , 2 · 54 , 3 · 36 , 4 · 27 , 6 · 18 , 9 · 12
טיפ: עוברים על הזוגות לפי הסדר ובודקים את ההפרש: 12 − 9 = 3 ✓
מה כפול מה: (−9) · 12 = −108 ✓ מה ועוד מה: (−9) + 12 = 3 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 + 3x − 108 = (x − 9)(x + 12)
בדיקה: (x − 9)(x + 12) = x2 + 12x − 9x − 108 = x2 + 3x − 108 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x − 9)(x + 12)
🟣 תרגיל 5: x2 − 4x − 96
פרקו: x2 − 4x − 96📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה −96, ומה ועוד מה שווה −4?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 4.
זוגות שהכפל שלהם 96: 1 · 96 , 2 · 48 , 3 · 32 , 4 · 24 , 6 · 16 , 8 · 12
מה כפול מה: 8 · (−12) = −96 ✓ מה ועוד מה: 8 + (−12) = −4 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 − 4x − 96 = (x + 8)(x − 12)
בדיקה: (x + 8)(x − 12) = x2 − 12x + 8x − 96 = x2 − 4x − 96 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x + 8)(x − 12)
🟢 תרגיל 6: x2 + 25x + 144
פרקו: x2 + 25x + 144📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה 144, ומה ועוד מה שווה 25?
הכפל חיובי והסכום חיובי ← שני המספרים חיוביים.
זוגות שהכפל שלהם 144: 1 · 144 , 2 · 72 , 3 · 48 , 4 · 36 , 6 · 24 , 8 · 18 , 9 · 16 , 12 · 12
טיפ: הסכום 25 קטן בהרבה מ־144, ולכן מחפשים זוג של מספרים קרובים זה לזה: 9 + 16 = 25 ✓
מה כפול מה: 9 · 16 = 144 ✓ מה ועוד מה: 9 + 16 = 25 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 + 25x + 144 = (x + 9)(x + 16)
בדיקה: (x + 9)(x + 16) = x2 + 16x + 9x + 144 = x2 + 25x + 144 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x + 9)(x + 16)
🔵 תרגיל 7: x2 − 26x + 168
פרקו: x2 − 26x + 168📖 פתרון מלא:
מה כפול מה שווה 168, ומה ועוד מה שווה −26?
הכפל חיובי והסכום שלילי ← שני המספרים שליליים.
זוגות שהכפל שלהם 168: 1 · 168 , 2 · 84 , 3 · 56 , 4 · 42 , 6 · 28 , 7 · 24 , 8 · 21 , 12 · 14
טיפ: 12 + 14 = 26, ושני המספרים שליליים: (−12) + (−14) = −26.
מה כפול מה: (−12) · (−14) = 168 ✓ מה ועוד מה: (−12) + (−14) = −26 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 − 26x + 168 = (x − 12)(x − 14)
בדיקה: (x − 12)(x − 14) = x2 − 14x − 12x + 168 = x2 − 26x + 168 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x − 12)(x − 14)
🟣 תרגיל 8: −x2 + 5x + 24
פרקו: −x2 + 5x + 24📖 פתרון מלא:
המקדם של x2 הוא −1. קודם מוציאים מינוס מכל הביטוי, וכל הסימנים בסוגריים מתהפכים:
−x2 + 5x + 24 = −(x2 − 5x − 24)📐 הוצאת מינוס−a + b = −(a − b)
עכשיו מפרקים את הטרינום שבתוך הסוגריים:
מה כפול מה שווה −24, ומה ועוד מה שווה −5?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 5.
זוגות שהכפל שלהם 24: 1 · 24 , 2 · 12 , 3 · 8 , 4 · 6
מה כפול מה: 3 · (−8) = −24 ✓ מה ועוד מה: 3 + (−8) = −5 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 − 5x − 24 = (x − 8)(x + 3)
−x2 + 5x + 24 = −(x − 8)(x + 3)
בדיקה: −(x − 8)(x + 3) = −(x2 + 3x − 8x − 24) = −(x2 − 5x − 24) = −x2 + 5x + 24 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: −(x − 8)(x + 3)
🟢 תרגיל 9: 5x2 − 5x − 550
פרקו: 5x2 − 5x − 550📖 פתרון מלא:
לפני הכול בודקים אם יש גורם משותף: 5, 5 ו־550 מתחלקים כולם ב־5.
5x2 − 5x − 550 = 5(x2 − x − 110)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
בתוך הסוגריים יש בדיוק את הטרינום מתרגיל 3:
מה כפול מה שווה −110, ומה ועוד מה שווה −1?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 1.
זוגות שהכפל שלהם 110: 1 · 110 , 2 · 55 , 5 · 22 , 10 · 11
מה כפול מה: 10 · (−11) = −110 ✓ מה ועוד מה: 10 + (−11) = −1 ✓📐 פירוק טרינוםx2 + bx + c = (x + p)(x + q)
כאשר p · q = c ו־p + q = b
כאשר p · q = c ו־p + q = b
x2 − x − 110 = (x − 11)(x + 10)
5x2 − 5x − 550 = 5(x − 11)(x + 10)
בדיקה: 5(x − 11)(x + 10) = 5(x2 + 10x − 11x − 110) = 5(x2 − x − 110) = 5x2 − 5x − 550 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: 5(x − 11)(x + 10)
🔵 תרגיל 10: 2x2 + 7x + 3
פרקו: 2x2 + 7x + 3📖 פתרון מלא:
כאן המקדם של x2 הוא 2 ולא 1, ולכן אי אפשר לכתוב מיד (x + p)(x + q). משתמשים בשיטת הפיצול: מפצלים את האיבר האמצעי לשני איברים, ואז מוציאים גורם משותף בזוגות.
המקדם של x2 הוא 2, ולכן מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם a · c והסכום שלהם b:📐 פירוק טרינום כש־a ≠ 1ax2 + bx + c
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
a · c = 2 · 3 = 6
מה כפול מה שווה 6, ומה ועוד מה שווה 7?
הכפל חיובי והסכום חיובי ← שני המספרים חיוביים.
זוגות שהכפל שלהם 6: 1 · 6 , 2 · 3
מה כפול מה: 6 · 1 = 6 ✓ מה ועוד מה: 6 + 1 = 7 ✓
מפצלים את האיבר האמצעי: 7x = 6x + x
2x2 + 7x + 3 = 2x2 + 6x + x + 3
מקבצים בזוגות: מהזוג הראשון מוציאים 2x, ומהזוג השני מוציאים 1:
= 2x(x + 3) + (x + 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
לשני החלקים יש את אותם סוגריים (x + 3), ולכן מוציאים אותם החוצה:
= (x + 3)(2x + 1)📐 גורם משותף (סוגריים משותפים)A · B + C · B = (A + C) · B
בדיקה: (x + 3)(2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3 = 2x2 + 7x + 3 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x + 3)(2x + 1)
🟣 תרגיל 11: 2x2 − 7x − 15
פרקו: 2x2 − 7x − 15📖 פתרון מלא:
המקדם של x2 הוא 2, ולכן מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם a · c והסכום שלהם b:📐 פירוק טרינום כש־a ≠ 1ax2 + bx + c
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
a · c = 2 · (−15) = −30
מה כפול מה שווה −30, ומה ועוד מה שווה −7?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 7.
זוגות שהכפל שלהם 30: 1 · 30 , 2 · 15 , 3 · 10 , 5 · 6
מה כפול מה: (−10) · 3 = −30 ✓ מה ועוד מה: (−10) + 3 = −7 ✓
מפצלים את האיבר האמצעי: −7x = −10x + 3x
2x2 − 7x − 15 = 2x2 − 10x + 3x − 15
מקבצים בזוגות: מהזוג הראשון מוציאים 2x, ומהזוג השני מוציאים 3:
= 2x(x − 5) + 3(x − 5)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
לשני החלקים יש את אותם סוגריים (x − 5), ולכן מוציאים אותם החוצה:
= (x − 5)(2x + 3)📐 גורם משותף (סוגריים משותפים)A · B + C · B = (A + C) · B
בדיקה: (x − 5)(2x + 3) = 2x2 + 3x − 10x − 15 = 2x2 − 7x − 15 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x − 5)(2x + 3)
🟢 תרגיל 12: 3x2 − 10x + 8
פרקו: 3x2 − 10x + 8📖 פתרון מלא:
המקדם של x2 הוא 3, ולכן מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם a · c והסכום שלהם b:📐 פירוק טרינום כש־a ≠ 1ax2 + bx + c
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
a · c = 3 · 8 = 24
מה כפול מה שווה 24, ומה ועוד מה שווה −10?
הכפל חיובי והסכום שלילי ← שני המספרים שליליים.
זוגות שהכפל שלהם 24: 1 · 24 , 2 · 12 , 3 · 8 , 4 · 6
מה כפול מה: (−6) · (−4) = 24 ✓ מה ועוד מה: (−6) + (−4) = −10 ✓
מפצלים את האיבר האמצעי: −10x = −6x − 4x
3x2 − 10x + 8 = 3x2 − 6x − 4x + 8
מקבצים בזוגות: מהזוג הראשון מוציאים 3x, ומהזוג השני מוציאים −4:
= 3x(x − 2) − 4(x − 2)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
לשני החלקים יש את אותם סוגריים (x − 2), ולכן מוציאים אותם החוצה:
= (x − 2)(3x − 4)📐 גורם משותף (סוגריים משותפים)A · B + C · B = (A + C) · B
בדיקה: (x − 2)(3x − 4) = 3x2 − 4x − 6x + 8 = 3x2 − 10x + 8 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (x − 2)(3x − 4)
🔵 תרגיל 13: 6x2 + x − 12
פרקו: 6x2 + x − 12📖 פתרון מלא:
המקדם של x2 הוא 6, ולכן מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם a · c והסכום שלהם b:📐 פירוק טרינום כש־a ≠ 1ax2 + bx + c
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
a · c = 6 · (−12) = −72
מה כפול מה שווה −72, ומה ועוד מה שווה 1?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום חיובי ← המספר הגדול בזוג הוא החיובי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 1.
זוגות שהכפל שלהם 72: 1 · 72 , 2 · 36 , 3 · 24 , 4 · 18 , 6 · 12 , 8 · 9
מה כפול מה: 9 · (−8) = −72 ✓ מה ועוד מה: 9 + (−8) = 1 ✓
מפצלים את האיבר האמצעי: x = 9x − 8x
6x2 + x − 12 = 6x2 + 9x − 8x − 12
מקבצים בזוגות: מהזוג הראשון מוציאים 3x, ומהזוג השני מוציאים −4:
= 3x(2x + 3) − 4(2x + 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
לשני החלקים יש את אותם סוגריים (2x + 3), ולכן מוציאים אותם החוצה:
= (2x + 3)(3x − 4)📐 גורם משותף (סוגריים משותפים)A · B + C · B = (A + C) · B
בדיקה: (2x + 3)(3x − 4) = 6x2 − 8x + 9x − 12 = 6x2 + x − 12 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (2x + 3)(3x − 4)
🟣 תרגיל 14: 4x2 − 4x − 15
פרקו: 4x2 − 4x − 15📖 פתרון מלא:
המקדם של x2 הוא 4, ולכן מחפשים שני מספרים שהכפל שלהם a · c והסכום שלהם b:📐 פירוק טרינום כש־a ≠ 1ax2 + bx + c
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
מחפשים שני מספרים: הכפל שלהם a · c והסכום שלהם b, ומפצלים את bx.
a · c = 4 · (−15) = −60
מה כפול מה שווה −60, ומה ועוד מה שווה −4?
הכפל שלילי ← מספר אחד חיובי ואחד שלילי. הסכום שלילי ← המספר הגדול בזוג הוא השלילי. מחפשים זוג שההפרש ביניהם הוא 4.
זוגות שהכפל שלהם 60: 1 · 60 , 2 · 30 , 3 · 20 , 4 · 15 , 5 · 12 , 6 · 10
מה כפול מה: 6 · (−10) = −60 ✓ מה ועוד מה: 6 + (−10) = −4 ✓
מפצלים את האיבר האמצעי: −4x = 6x − 10x
4x2 − 4x − 15 = 4x2 + 6x − 10x − 15
מקבצים בזוגות: מהזוג הראשון מוציאים 2x, ומהזוג השני מוציאים −5:
= 2x(2x + 3) − 5(2x + 3)📐 גורם משותףab + ac = a(b + c)
לשני החלקים יש את אותם סוגריים (2x + 3), ולכן מוציאים אותם החוצה:
= (2x + 3)(2x − 5)📐 גורם משותף (סוגריים משותפים)A · B + C · B = (A + C) · B
בדיקה: (2x + 3)(2x − 5) = 4x2 − 10x + 6x − 15 = 4x2 − 4x − 15 ✓📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
✅ פתרון סופי: (2x + 3)(2x − 5)
💡 לזכור
מה כפול מה שווה המספר החופשי, ומה ועוד מה שווה המקדם של x. קודם קובעים את הסימנים, ורק אחר כך מחפשים בזוגות. כשהמקדם של x2 אינו 1: הכפל הוא a · c, מפצלים את האיבר האמצעי ומוציאים גורם משותף בזוגות. ותמיד בודקים בפתיחת סוגריים ✅
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il