שיעור 29-הזזה כלפי מעלה ומטה :f(x) +c

נושא השיעור-

הזזת פונקציה כלפי מעלה או מטה: f(x) + c

כאשר מוסיפים קבוע c לפונקציה f(x), התוצאה היא הזזה אנכית של הגרף של הפונקציה.

• c > 0: הגרף יזוז כלפי מעלה ב-c יחידות.

• c < 0: הגרף יזוז כלפי מטה ב-|c| יחידות.

הסבר אינטואיטיבי:

דמיינו שאתם לוקחים את גרף הפונקציה המקורית f(x) ומרימים אותו או מורידים אותו על ציר ה-y. כל נקודה על הגרף תזוז באותו מרחק אנכית.

דוגמה:

נניח שיש לנו את הפונקציה f(x) = x^2.

• אם נגדיר פונקציה חדשה g(x) = x^2 + 3, הגרף של g(x) יהיה זהה לגרף של f(x) אך מזוז כלפי מעלה ב-3 יחידות.

• אם נגדיר פונקציה חדשה h(x) = x^2 – 2, הגרף של h(x) יהיה זהה לגרף של f(x) אך מזוז כלפי מטה ב-2 יחידות.

השלכות של ההזזה:

• נקודות חיתוך עם ציר ה-y: נקודת החיתוך עם ציר ה-y תשתנה בהתאם לערך של c.ערך ה-x לא ישתנה!!

• נקודות קיצון: אם לפונקציה המקורית היו נקודות קיצון, הן תזוזנה אנכית באותו מרחק כמו הגרף כולו.

• תחומי עלייה וירידה: תחומי העלייה והירידה לא ישתנו, אך הערכים של הפונקציה בכל נקודה ישתנו בהתאם להזזה.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו תרגיל על הזזה של פונקציה כלפי מעלה ומטה, עם שני סעיפים. כאן הכלל והפתרון המלא, שלב אחרי שלב 👇

🟣 הכלל: הזזה למעלה ולמטה

g(x) = f(x) + c

כל נקודה של הגרף זזה c יחידות בכיוון ציר ה־y

ערכי ה־x לא משתנים, משתנים רק ערכי ה־y

c > 0 ← הגרף עולה למעלה

c < 0 ← הגרף יורד למטה

סוג נקודת הקיצון (מינימום / מקסימום) נשאר אותו דבר

🟡 התרגיל מהסרטון

לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון יחידה: נקודת מינימום (1 , −2). נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + c , c הוא פרמטר.

סעיף 1: נתון כי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x) נמצאת על ציר ה־x. מצא את c.

g היא הזזה של f ב־c יחידות למעלה או למטה, ולכן ה־x של הנקודה נשאר 1 ורק ה־y משתנה:

(1 , −2) ← (1 , −2 + c)

נקודה על ציר ה־x ← ה־y שלה שווה 0:

−2 + c = 0

c = 2

כלומר מזיזים את הגרף 2 יחידות למעלה, והמינימום עובר ל־(1 , 0)

תשובה: c = 2

סעיף 2: תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) הוא כל x. עבור אילו ערכי c הפונקציה g(x) חיובית לכל x בתחום ההגדרה?

לפונקציה יש רק נקודת קיצון אחת והיא מינימום, ולכן זו הנקודה הנמוכה ביותר בגרף.

אם המינימום נמצא מעל ציר ה־x, כל הגרף מעל ציר ה־x (חיובי).

ה־y של המינימום של g הוא −2 + c , ודורשים שיהיה חיובי:

−2 + c > 0

c > 2

שימו לב: כש־c = 2 המינימום נוגע בציר ה־x והפונקציה מתאפסת שם, ולכן היא לא חיובית לכל x.

תשובה: c > 2

💡 לזכור

הוספה של מספר לפונקציה, f(x) + c , מזיזה את כל הגרף למעלה או למטה. ערכי ה־x של הנקודות נשארים, ורק ל־y מוסיפים c.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il