שיעור 39-קשר בין הפונקציה לנגזרת 4

נושא השיעור-נלמד בשיעור על הקשר בין הפונקציה לנגזרת

הקשר הגרפי

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת שלה מאפשר לנו "לקרוא" את התנהגות הפונקציה על סמך גרף הנגזרת.

• נגזרת חיובית: כאשר הנגזרת חיובית, הפונקציה המקורית עולה.

• נגזרת שלילית: כאשר הנגזרת שלילית, הפונקציה המקורית יורדת.

• נגזרת מתאפסת: כאשר הנגזרת מתאפסת, הפונקציה המקורית מגיעה לנקודת קיצון (מקסימום או מינימום).

• נגזרת משנה סימן: כאשר הנגזרת משנה סימן מחיובי לשלילי או להיפך, הפונקציה המקורית עוברת מנקודת קיצון.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון עשינו את הכיוון ההפוך: קיבלנו את הגרף של הפונקציה, ומצאנו ממנו איפה הנגזרת חיובית, שלילית ושווה 0, ושרטטנו את גרף הנגזרת 👇

🟣 תזכורת: הכללים

1. נקודות הקיצון של f(x) הן נקודות האפס של f'(x) (חיתוך עם ציר ה־x)

2. תחומי הירידה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת שלילית (f'(x) < 0) ← גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x

3. תחומי העלייה של f(x) הם התחומים שבהם הנגזרת חיובית (f'(x) > 0) ← גרף הנגזרת מעל ציר ה־x

🟡 התרגיל מהסרטון

בשרטוט מתואר הגרף של f(x) בתחום 1 < x < 10 : נקודת מינימום (2 , 1) , נקודת מקסימום (4 , 4.5) , נקודת מינימום (6 , 2) , ומ־x = 7 עד x = 10 הגרף ישר ואופקי בגובה y = 4 .
הסתמך על הגרף של f(x) ועל הערכים הרשומים על הצירים, וענה על הסעיפים.

סעיף א (1): מצא עבור אילו ערכים של x השונים מ־7 מתקיים f'(x) < 0 . נמק.

הנגזרת שלילית איפה שהפונקציה יורדת ↘

f יורדת מ־1 עד המינימום ב־2, ומהמקסימום ב־4 עד המינימום ב־6.

תשובה: 1 < x < 2 , 4 < x < 6

סעיף א (2): מצא עבור אילו ערכים של x מתקיים f'(x) > 0 . נמק.

הנגזרת חיובית איפה שהפונקציה עולה ↗

f עולה מהמינימום ב־2 עד המקסימום ב־4, ומהמינימום ב־6 עד 7.

תשובה: 2 < x < 4 , 6 < x < 7

סעיף א (3): מצא עבור אילו ערכים של x מתקיים f'(x) = 0 . נמק.

הנגזרת מתאפסת בנקודות הקיצון של f:

x = 2 , x = 4 , x = 6

וגם: בתחום 7 < x < 10 הגרף ישר ואופקי (פונקציה קבועה). השיפוע של קו אופקי הוא 0, ולכן גם שם f'(x) = 0

תשובה: x = 2 , x = 4 , x = 6 , וגם 7 < x < 10

סעיף ב: סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f'(x) בתחום 2 ≤ x ≤ 6 .

ב־x = 2 , 4 , 6 הנגזרת שווה 0 ← הגרף שלה חותך שם את ציר ה־x

בין 2 ל־4 f עולה ← גרף הנגזרת מעל ציר ה־x (כמו גבעה)

בין 4 ל־6 f יורדת ← גרף הנגזרת מתחת לציר ה־x (כמו בור)

תשובה: גבעה מעל הציר בין 2 ל־4, ובור מתחת לציר בין 4 ל־6

💡 לזכור

f עולה ← f'(x) > 0 . f יורדת ← f'(x) < 0 . נקודת קיצון או קטע אופקי ← f'(x) = 0 .

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il