נושא השיעור חקירת פולינום

שלבי חקירה

1. מציאת תחום ההגדרה:

• כל המספרים הממשיים: פונקציות פולינומיות מוגדרות לכל ערך של x.

2. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים:

• עם ציר ה-y: הצב x=0 בפונקציה כדי למצוא את נקודת החיתוך.

• עם ציר ה-x: פתור את המשוואה f(x)=0. זה עשוי לדרוש פירוק לגורמים או שימוש בנוסחאות לפתרון משוואות ריבועיות.

3. מציאת נקודות קיצון/פיתול:

• נגזרת ראשונה:

  • מצא את הנגזרת הראשונה כדי למצוא נקודות קיצון.

  • נשווה את הנגזרת לאפס ופתור את המשוואה.(נמצא את x)

  • מציאת ערך y של ה-x שמצאנו.

4. מציאת תחומי עליה וירידה:

נבדוק את סימן הנגזרת בכל אינטרוול כדי לקבוע תחומי עלייה וירידה.

5. שרטוט הגרף.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון עשינו חקירת פונקציה מלאה, סעיף אחרי סעיף, עד הסרטוט. כאן היא כתובה בדיוק לפי הסדר 👇

📝 השאלה

שאלה: חקור את הפונקציה f(x) = x² − 4x + 4 על פי הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה.

ב. נקודות חיתוך עם הצירים.

ג. נקודות קיצון.

ד. תחומי עלייה וירידה.

ה. סרטוט.

🟡 הסעיפים

סעיף א: תחום הגדרה.

זו פונקציה פולינום (בלי שבר ובלי שורש), ולכן אפשר להציב בה כל מספר.

תשובה: כל x

סעיף ב: נקודות חיתוך עם הצירים.

עם ציר y מציבים x = 0:

f(0) = 0² − 4·0 + 4 = 4 ← (0 , 4)

עם ציר x מציבים y = 0:

x² − 4x + 4 = 0

x₁,₂ = 4 ± √(16 − 16)2 = 42

x = 2 ← (2 , 0)

תשובה: (0 , 4) , (2 , 0)

סעיף ג: נקודות קיצון.

גוזרים ומשווים ל־0:

f'(x) = 2x − 4 = 0

2x = 4

x = 2

מציבים בפונקציה:

f(2) = 2² − 4·2 + 4

= 4 − 8 + 4 = 0

מציבים בנגזרת מספר לפני 2 ומספר אחרי:

f'(0) = 2·0 − 4 = −4 < 0

f'(3) = 2·3 − 4 = 2 > 0

x	0	2	3
f'(x)	−	0	+
f(x)	↘	min	↗

תשובה: (2 , 0) נקודת מינימום

סעיף ד: תחומי עלייה וירידה.

לפי הטבלה מסעיף ג: לפני 2 הנגזרת שלילית, ואחרי 2 היא חיובית.

תשובה: עלייה: x > 2
ירידה: x < 2

סעיף ה: סרטוט.

מסמנים את הנקודות שמצאנו: חיתוך עם ציר y ב־(0 , 4) , ומינימום שנוגע בציר x ב־(2 , 0). יורדים עד המינימום ואז עולים:

💡 לזכור

בחקירת פונקציה עובדים תמיד באותו סדר: תחום הגדרה ← חיתוך עם הצירים ← קיצון ← עלייה וירידה ← סרטוט. כל סעיף משתמש במה שמצאנו בסעיפים הקודמים, והסרטוט "מחבר" את כל הנקודות.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il