מתמטיקה כיתה י' – 4 יחידות 12 פרקים228 שיעורים10 שבועות
שיעור 9 -פתרון בגרות 2018 מועד א שאלון 481 4 יחידות-בעיית קיצון עם גרפים
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בבגרות 2018 מועד א (שאלון 481) נקודה A נעה על גרף הפונקציה f(x) = x³ , ובונים עליה משולש עם ראשית הצירים. מבטאים את שטח המשולש באמצעות t , גוזרים ומוצאים מקסימום.
🔵 סעיף א: שיעורי הנקודה A שעבורה שטח המשולש ABO מקסימלי
בציור מתוארים גרף הפונקציה f(x) = x³ והישר x = 2 . הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f(x) . נתון: 0 < xA < 2 . מהנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה־x . הישר חותך את הישר x = 2 בנקודה B . הנקודה O היא ראשית הצירים.
א. מה הם שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המשולש ABO הוא מקסימלי? נמק.
א. מה הם שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המשולש ABO הוא מקסימלי? נמק.
שלושת השלבים של בעיית קיצון:
① פונקציית המטרה מבוטאת על ידי נעלם 1
② גוזרים, משווים ל־0 ומוצאים את הנעלם
③ מציבים: max או min
הנקודה A נמצאת על הגרף, לכן מסמנים את ה־x שלה ב־t ומציבים בפונקציה:
A(t , t³)
הנקודה B נמצאת על הישר x = 2 ובאותו גובה כמו A:
B(2 , t³)
בסיס המשולש הוא הקטע AB (מחסרים את ה־x־ים):
AB = 2 − t
הגובה לבסיס AB הוא המרחק מ־O עד הישר, כלומר ה־y של A:
h = t³
פונקציית המטרה – שטח המשולש:
S = (2 − t)·t³2 = 2t³ − t⁴2
גוזרים ומשווים ל־0:
S' = 6t² − 4t³2 = 0
כופלים ב־2 ומחלקים ב־4:
6t² − 4t³ = 0 /:4
1.5t² − t³ = 0
t²(1.5 − t) = 0
t = 0 לא מתאים (נתון 0 < t), ולכן t = 1.5
בודקים max או min – מציבים בנגזרת ערך משמאל ומימין ל־1.5:
S'(1) = 6 − 42 = 1 > 0
S'(2) = 24 − 322 = −4 < 0
| t | 1 | 1.5 | 2 |
|---|---|---|---|
| S' | + | 0 | − |
| S | ↗ | max | ↘ |
הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, לכן ב־t = 1.5 יש מקסימום.
מציבים בפונקציה כדי למצוא את ה־y של A:
f(1.5) = 1.5³ = 3.375
תשובה: A(1.5 , 3.375)
🟣 סעיף ב: חישוב השטח המקסימלי של המשולש ABO
ב. חשב את שטח המשולש ABO בעבור הנקודה A שמצאת בסעיף א.
מציבים t = 1.5 בפונקציית השטח:
S = 2·1.5³ − 1.5⁴2
= 6.75 − 5.06252 = 1.68752
= 2732
תשובה: S = 2732 יח"ר
💡 לזכור
בבעיית קיצון עם גרף: הנקודה על הגרף היא (t , f(t)) . מבטאים בעזרתה את האורכים (הפרש x־ים לאורך אופקי, הפרש y־ים לגובה), בונים את פונקציית המטרה וגוזרים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il